Principes additifs et multiplicatifs

I. Réunion d'ensembles ou le principe additif

Si un ensemble $E$ est la réunion de plusieurs sous-ensembles deux à deux disjoints, alors le nombre d’éléments de $E$ est la somme des nombres d’éléments de chacun de ces sous-ensembles.

Formellement, si
$E = A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_m$ et si $A_i \cap A_j = \varnothing$ pour tout $i \neq j$, alors :
$\mathrm{card}(E) = \mathrm{card}(A_1) + \mathrm{card}(A_2) + \cdots + \mathrm{card}(A_m)$.

Exemple :

Si $E$ se décompose en 3 sous-ensembles disjoints $A$, $B$ et $C$, on a :
$\mathrm{card}(E) = \mathrm{card}(A) + \mathrm{card}(B) + \mathrm{card}(C)$.

Exemple :

Soit un ensemble $E$ partitionné en 5 sous-ensembles disjoints $E_1, E_2, E_3, E_4, E_5$ contenant respectivement 2, 10, 4, 3 et 6 éléments. On a :
$\mathrm{card}(E) = 2 + 10 + 4 + 3 + 6 = 25$.

Corollaire : Soient $A$ une partie d’un ensemble fini $E$ et $\overline A$ le complémentaire de $A$ dans $E$.

On a : $\text{Card}(E) = \text{Card}(A) + \text{Card}(\overline A)$.

II. Produit cartésien ou le principe multiplicatif

Définition :
Soient $A$ et $B$ deux ensembles non vides. Le produit cartésien de $A$ et $B$ est l’ensemble noté $A \times B$ (se lit « croix $A$ $B$ »), constitué des couples $(a, b)$ où $a$ est un élément de $A$ et $b$ un élément de $B$. Plus formellement : $A \times B = \{(a, b) \mid a \in A \text{ et } b \in B\}$.

Exemple :
Soient $A = \{x, y\}$ et $B = \{1, 2, 3\}$. Alors :
$A \times B = \{(x, 1), (x, 2), (x, 3), (y, 1), (y, 2), (y, 3)\}$.

Propriété :
Soient $A$ et $B$ deux ensembles finis. Alors : $\text{Card}(A \times B) = \text{Card}(A) \times \text{Card}(B)$.

Plus généralement, pour des ensembles finis $A_1, A_2, \ldots, A_k$,
$\mathrm{card}(A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_k) = \mathrm{card}(A_1) \times \mathrm{card}(A_2) \times \cdots \times \mathrm{card}(A_k)$.