k-uplet d'un ensemble

I. Un peu de vocabulaire : couple, triplet et k-uplet d'un ensemble à $n$ éléments

Soit $k$ un entier naturel non nul

$\circ\quad$ Couple (ou 2-uplet) : on note $(a, b)$ un objet composé de deux éléments $a$ et $b$.

$\circ\quad$Triplet (ou 3-uplet) : $(a, b, c)$.

$\circ\quad$ k-uplet (ou k-liste) : $(x_1, x_2, \ldots, x_k)$ où chaque $x_i$ est un élément de l’ensemble considéré.

Remarque : L’ordre compte dans un k-uplet :
$(a, b) \neq (b, a)$ en général si $a \neq b$.

II. L'ensemble $E^k$

Lorsque tous les ensembles sont identiques, c’est-à-dire $E_1 = E_2 = \cdots = E_k = E$, on note : $E^k = \{(x_1, x_2, \ldots, x_k)\ \mid\ x_i \in A \text{ pour } i=1,\ldots,k \}$

$\circ\quad$Un élément de $E^k$ est donc un k-uplet d’éléments de $E$, ou encore une liste de k éléments de $E$.

Un exemple avec deux ensembles : Si $\mathrm{card}(A) = 4$ et $\mathrm{card}(B) = 7$, alors
$\mathrm{card}(A \times B) = 4 \times 7 = 28$.Concrètement, il y a 28 couples $(a, b)$ possibles avec $a \in A$ et $b \in B$

Autres exemples :
i) $(a, b, q)$ est un $3$-uplet de l’ensemble des $26$ lettres de l'alphabet.
ii) Combien existe-t-il de codes de carte bancaire à 4 chiffres ?

L’ensemble des chiffres utilisés est $\{0,1,2,\ldots,9\}$ et comporte 10 éléments.Le nombre de 4-uplets de chiffres (c’est-à-dire le nombre de suites de 4 chiffres) est : $10^4 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10~000$.

Théorème :
Soient $k \geq 1$ et $E$ un ensemble fini de cardinal $n$. Le nombre de $k$-uplets de $E$ est $n^k$, soit : $\text{Card}(E^k) = n^k$.

$\boxed{ \begin{array}{l}\text{Autrement dit,}\textbf{ le nombre de k-uplets}\\\text{d’un ensemble de } n\textbf{ éléments est : }n^k\end{array} }$

Exemple :
i) On dispose de trois boîtes notées $A, B, C$ et cinq jetons numérotés de couleurs différentes. On doit ranger ces jetons dans les boîtes. On note $E = {A, B, C}$ l’ensemble des boîtes. Les différents rangements possibles sont des $5$-uplets de $E$. Par exemple, $(A, B, B, C, A)$ signifie que le premier jeton est rangé dans $A$, le deuxième dans $B$, etc. Il y a alors : $\text{Card}(E^5) = 3^5 = 243 \text{ rangements possibles.}$

ii) Soit $E = {1, 2, 3}$. Puisque $\text{Card}(E) = 3$, le nombre de $3$-uplets de $E$ est : $\text{Card}(E^3) = 3^3 = 27$.
On peut le vérifier à l’aide d’un arbre en écrivant l’ensemble des $3$-uplets de $E$.

$E^3 = \lbrace (a ; a ; a), (a ; a ; b), (a ; b ; a), (a ; b ; b), (b ; a ; a), (b ; a ; b), (b ; b ; a), (b ; b ; b) \rbrace$

$\boxed{ \begin{array}{l} \textbf{En résumé :}\\[6pt] \textbf{Le principe additif} \text{ s’applique pour compter}\\ \quad \text{des éléments répartis dans des ensembles } \textbf{disjoints}.\\[6pt] \textbf{Le principe multiplicatif} \text{ s’applique pour compter}\\ \quad \text{des } \textbf{k-uplets} \text{ (ou listes ordonnées) d’éléments}\\ \quad \text{issus de plusieurs ensembles (ou d’un même ensemble).} \end{array} }$