Cardinal d'un ensemble

👉 Des fiches d'exercices (non visibles actuellement sur l'application) existent, elles sont disponibles depuis le site internet https://www.digischool.fr/lycee

Définition :
On dit d’un ensemble qu’il est fini s’il possède un nombre fini d’éléments.
Soit $E$ un ensemble fini. Le cardinal de $E$, noté $\text{Card}(E)$, est le nombre d’éléments de l’ensemble $E$.

Exemple :
$E = \{a, b, c, d\}$ est un ensemble fini et $\text{Card}(E) = 4$.

Remarques :
i) On note parfois $\sharp E$ ou $|E|$ au lieu de $\text{Card}(E)$.
ii) $\text{Card}(\emptyset) = 0$.
iii) Certains ensembles ne sont pas finis : $\mathbb{N}, \mathbb{R}$, etc.

Définition :
Deux ensembles $A$ et $B$ sont disjoints si $A \cap B = \emptyset$.

Exemple :
$A = \{1, 2, 3\}$ et $B = \{4, 5\}$ sont disjoints car $A \cap B = \emptyset$.

Lorsque les ensembles ne sont pas disjoints :

$\text{Card}(A\cup B)=\text{Card}A+\text{Card}B-\text{Card}(A\cap B)$

Exemple :

$A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ et $B = \{4, 5, 7, 8\}$

$\text{Card}A=6$ et $\text{Card}B=4$

$A\cup B=\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ et $A\cap B=\{4, 5\}$

$\text{Card}A\cup B=8$ et $\text{Card}A\cap B=2$

$\text{Card}A\cup B=6+4-2=8$