Positions relatives de deux plans de l’espace

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Exemple :

$ABCDEFGH$ est un cube.

Déterminer la position relative des plans $(ABC)$ et $(EFG)$ puis des plans $(AHF)$ et $(EFG)$.

$\circ\quad$ Les plans $(ABC)$ et $(EFG)$ sont strictement parallèles car ils n’ont aucun point commun.

$\circ\quad$Les plans $(AHF)$ et $(EFG)$ sont sécants suivant la droite $(HF)$ car les plans $(AHF)$ et $(EFG)$ sont distincts ($A \notin (EFG)$) et $F$ et $H$ sont deux points communs à ces plans.

Propriété :
Si deux plans $P$ et $P'$ sont parallèles, alors tout plan $Q$ qui coupe $P$ coupe aussi $P'$ et les droites d’intersection sont parallèles.

Théorème du toit :
Soient $d_1$ et $d_2$ deux droites parallèles, $P_1$ un plan contenant $d_1$ et $P_2$ un plan contenant $d_2$.
Si les plans $P_1$ et $P_2$ sont sécants, alors leur intersection $\Delta$ est parallèle à $d_1$ et à $d_2$.

Propriété : Si deux plans sont parallèles et si une droite est parallèle à un de ces plans, alors elle est parallèle à l’autre plan.

Propriété : Si deux plans sont parallèles à un même troisième plan, alors ils sont parallèles entre eux.

Propriété : Si deux droites sécantes d’un plan $P_1$ sont respectivement parallèles à deux droites sécantes d’un plan $P_2$, alors $P_1$ et $P_2$ sont parallèles.