Bases et repères de l'espace

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I. Bases de l’espace

Une base dans l’espace est un ensemble de trois vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$, et $\overrightarrow{w}$ qui :

$\circ\quad$ Ne sont pas coplanaires (ils ne sont pas dans le même plan).

$\circ\quad$ Ne sont pas colinéaires deux à deux.

Ces trois vecteurs permettent de décrire tous les vecteurs de l’espace sous forme de combinaison linéaire.

Définition :
Une base de l’espace est un triplet $(\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})$ formé de vecteurs non coplanaires.

Remarque :
Les vecteurs d’une base sont tous non nuls et non colinéaires deux à deux.

II. Repère de l'espace

Un repère dans l’espace est constitué :

$\circ\quad$ D’un point d’origine $O$.

$\circ\quad$D’une base de l’espace, composée de trois vecteurs $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$, et $\overrightarrow{k}$.

Avec un repère, tout point $M$ de l’espace peut être décrit par un vecteur position $\overrightarrow{OM}$ décomposé sur la base ${\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k}}$.

On utilise très régulièrement des repères un peu plus "classiques".

III. Exemple

$ABCDEFGH$ est un cube.

$1.$ Justifier que $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AE})$ est une base de l’espace.

$E$ n’appartient pas au plan $(ABC)$, donc $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AE}$ ne sont pas coplanaires.
D’où $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AE})$ forment une base de l’espace.

$2.$ Exprimer les vecteurs $\overrightarrow{AH}$ et $\overrightarrow{BH}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AE}$, puis en déduire les coordonnées de $\overrightarrow{AH}$ et $\overrightarrow{BH}$.

D’après la relation de Chasles :
$\overrightarrow{AH} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DH}$
$\overrightarrow{AH} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AE}$

Ainsi : $\overrightarrow{AH} =\begin{pmatrix}1 \\-1 \\1\end{pmatrix}$

Pour $\overrightarrow{BH}$, on a :
$\overrightarrow{BH} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AH}$
$\overrightarrow{BH} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AE}$
$\overrightarrow{BH} = -2 \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AE}$

Ainsi : $\overrightarrow{BH} =\begin{pmatrix}-2 \\1 \\1\end{pmatrix}$