Bases de l'espace

I. Bases de l’espace

Une base dans l’espace est un ensemble de trois vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$, et $\overrightarrow{w}$ qui :

$\circ\quad$ Ne sont pas coplanaires (ils ne sont pas dans le même plan).

$\circ\quad$ Ne sont pas colinéaires deux à deux.

Ces trois vecteurs permettent de décrire tous les vecteurs de l’espace sous forme de combinaison linéaire.

Définition :
Une base de l’espace est un triplet $(\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})$ formé de vecteurs non coplanaires.

Remarque :
Les vecteurs d’une base sont tous non nuls et non colinéaires deux à deux.

II. Coordonnées d'un vecteur

Propriété :
Soit $(\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})$ une base de l’espace.
Tout vecteur $\overrightarrow{u}$ peut s’écrire comme une combinaison linéaire unique des vecteurs $\overrightarrow{i}$, $\overrightarrow{j}$, $\overrightarrow{k}$ : il existe un unique triplet de réels $(x, y, z)$ tel que : $\overrightarrow{u} = x \overrightarrow{i} + y \overrightarrow{j} + z \overrightarrow{k}$.

On dit que $(x, y, z)$ sont les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{u}$ dans la base $(\overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k})$.

On note $\overrightarrow{u}(x, y, z)$ ou parfois : $\overrightarrow{u} = \begin{pmatrix}x \\y \\z\end{pmatrix}$

Exemple :
$ABCDEFGH$ est un cube.

$1.$ Justifier que $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AE})$ est une base de l’espace.

$E$ n’appartient pas au plan $(ABC)$, donc $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AE}$ ne sont pas coplanaires.
D’où $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AE})$ forment une base de l’espace.

$2.$ Exprimer les vecteurs $\overrightarrow{AH}$ et $\overrightarrow{BH}$ en fonction des vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AE}$, puis en déduire les coordonnées de $\overrightarrow{AH}$ et $\overrightarrow{BH}$.

D’après la relation de Chasles :
$\overrightarrow{AH} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DH}$
$\overrightarrow{AH} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AE}$

Ainsi : $\overrightarrow{AH} =\begin{pmatrix}1 \\-1 \\1\end{pmatrix}$

Pour $\overrightarrow{BH}$, on a :
$\overrightarrow{BH} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AH}$
$\overrightarrow{BH} = -\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AE}$
$\overrightarrow{BH} = -2 \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AE}$

Ainsi : $\overrightarrow{BH} =\begin{pmatrix}-2 \\1 \\1\end{pmatrix}$