Positions relatives d’une droite et d’un plan de l’espace

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Exemple :

Soit $ABCDEFGH$ un cube. Déterminer la position relative de $(AC)$ et $(EFG)$ d'une part et de $(BH)$ et $(EFG)$ d'autre part :

$\circ\quad$ $(AC)$ et $(EFG)$ :
$(AC)$ et $(EFG)$ sont strictement parallèles car $(AC)$ et $(EFG)$ n’ont aucun point en commun.

$\circ\quad$$(BH)$ et $(EFG)$ :
$(BH)$ et $(EFG)$ sont sécants en $H$ car ils ont un seul point d’intersection qui est $H$.

Propriété :
Une droite $D$ dirigée par $\overrightarrow{u}$ est parallèle à un plan $P$ dirigé par $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ si et seulement si $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont coplanaires.

Exemple :
Soit $ABCDEFGH$ un cube.

$I$ est le point défini par $\overrightarrow{DI} = \dfrac{1}{3} \overrightarrow{DC}$.
Démontrer que $(HI)$ est parallèle au plan $(AEB)$.

Pour démontrer que $(HI)$ est parallèle à $(AEB)$, on montre que $\overrightarrow{HI}$, $\overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont coplanaires.

D’après la relation de Chasles : $\overrightarrow{HI} = \overrightarrow{HD} + \overrightarrow{DI}$

En remplaçant $\overrightarrow{DI}$ : $\overrightarrow{HI} = -\overrightarrow{AE} + \dfrac{1}{3} \overrightarrow{DC}$

Or, $\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}$ : donc $\overrightarrow{HI} = -\overrightarrow{AE} + \dfrac{1}{3} \overrightarrow{AB}$

Ainsi, $\overrightarrow{HI}$, $\overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{AB}$ sont coplanaires. On peut donc conclure, d’après la propriété, que $(HI)$ et $(AEB)$ sont parallèles.

Propriété : Si une droite $d_1$ est parallèle à une droite $d_2$ contenue dans un plan $\mathcal P$ , alors $d_1$ est parallèle à $\mathcal P$ .

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