Plans de l'espace

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Définition :
Un plan de l’espace est entièrement déterminé par la donnée de :

  • Trois points AA, BB, CC non alignés (noté (ABC)(ABC))

  • Un point AA et de deux vecteurs non colinéaires u\overrightarrow{u} et v\overrightarrow{v}.

On note ce plan (A,u,v)(A, \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) et on dit que (u,v)(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) est un couple de vecteurs directeurs du plan et qu’il définit sa direction.

picture-in-textPropriété :
Soit PP le plan passant par AA et dirigé par (u,v)(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}).
Un point MM appartient au plan PP si et seulement s’il existe deux réels xx et yy tels que AM=xu+yv\overrightarrow{AM} = x \overrightarrow{u} + y \overrightarrow{v}.

Exemple :
ABCDEFGHABCDEFGH est un cube. Donner un point et la direction du plan (CEG)(CEG), puis démontrer que AA appartient à ce plan.

picture-in-textLe plan (CEG)(CEG) passe par le point CC et est dirigé par CE\overrightarrow{CE} et CG\overrightarrow{CG} ((CE,CG)( \overrightarrow{CE}, \overrightarrow{CG})).
Pour démontrer que AA appartient à (CEG)(CEG), il suffit de déterminer deux réels xx et yy tels que CA=xCE+yCG\overrightarrow{CA} = x \overrightarrow{CE} + y \overrightarrow{CG}.

CA=CE+EA\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CE} + \overrightarrow{EA} d’après Chasles
CA=CECG\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CE} - \overrightarrow{CG}

En posant x=1x = 1 et y=1y = -1, on a bien CA=xCE+yCG\overrightarrow{CA} = x \overrightarrow{CE} + y \overrightarrow{CG}.

Donc A(CEG)A \in (CEG).