Plans de l'espace

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Définition :
Un plan de l’espace est entièrement déterminé par la donnée de :

• Trois points $A$, $B$, $C$ non alignés (noté $(ABC)$)

• Un point $A$ et de deux vecteurs non colinéaires $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$.

On note ce plan $(A, \overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ et on dit que $(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$ est un couple de vecteurs directeurs du plan et qu’il définit sa direction.

Propriété :
Soit $P$ le plan passant par $A$ et dirigé par $(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v})$.
Un point $M$ appartient au plan $P$ si et seulement s’il existe deux réels $x$ et $y$ tels que $\overrightarrow{AM} = x \overrightarrow{u} + y \overrightarrow{v}$.

Exemple :
$ABCDEFGH$ est un cube. Donner un point et la direction du plan $(CEG)$, puis démontrer que $A$ appartient à ce plan.

Le plan $(CEG)$ passe par le point $C$ et est dirigé par $\overrightarrow{CE}$ et $\overrightarrow{CG}$ ($( \overrightarrow{CE}, \overrightarrow{CG})$).
Pour démontrer que $A$ appartient à $(CEG)$, il suffit de déterminer deux réels $x$ et $y$ tels que $\overrightarrow{CA} = x \overrightarrow{CE} + y \overrightarrow{CG}$.

$\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CE} + \overrightarrow{EA}$ d’après Chasles
$\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CE} - \overrightarrow{CG}$

En posant $x = 1$ et $y = -1$, on a bien $\overrightarrow{CA} = x \overrightarrow{CE} + y \overrightarrow{CG}$.

Donc $A \in (CEG)$.