Vecteurs coplanaires

Définition :
Trois vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont coplanaires si pour un point $O$ quelconque de l'espace, , les points $O$, $A$, $B$ et $C$, où $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{w}$, appartiennent à un même plan.

Remarque :
On dit que $O$, $A$, $B$, $C$ sont coplanaires.

Exemple :
Soit $ABCDEFGH$ un cube.

$\circ\quad$ Les vecteurs $\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{DH}$ et $\overrightarrow{DG}$ sont-ils coplanaires ?
Les vecteurs $\overrightarrow{DC}$, $\overrightarrow{DH}$ et $\overrightarrow{DG}$ sont coplanaires car les points $D$, $C$, $H$ et $G$ appartiennent à un même plan qui est le plan $(DCH)$.

$\circ\quad$ On se ramène à des représentants des vecteurs $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AE}$ et $\overrightarrow{BC}$ de même origine.
On a $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$.
$E \notin (ABD)$ donc $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AE}$, $\overrightarrow{AD}$ ne sont pas coplanaires.

Propriété :
Soient $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{w}$ trois vecteurs de l’espace tels que $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires.

Les vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{w}$ sont coplanaires si et seulement si $\overrightarrow{w}$ est une combinaison linéaire de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, c'est-à-dire s’il existe deux réels $x$ et $y$ tels que $\overrightarrow{w} = x \overrightarrow{u} + y \overrightarrow{v}$.

Exemple :
On considère une pyramide $ABCDE$ de sommet $E$ dont la base est le parallélogramme $ABCD$.
Soient $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{v} = 2 \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DE}$ et $\overrightarrow{w} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AE}$.
Démontrer que les vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$, $\overrightarrow{w}$ sont coplanaires.$\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires.

Exprimons $\overrightarrow{w}$ comme une combinaison linéaire de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$.

$\overrightarrow{w} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AE}$
$\overrightarrow{w} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{AE}$ d’après la relation de Chasles.

Or, $ABCD$ est un parallélogramme, donc $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AD}$.

On a alors : $\overrightarrow{w} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}$
$\overrightarrow w = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DE}$

Soit : $\overrightarrow{w} = \overrightarrow{AB} + 2 \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DE}$

Ainsi, $\overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$.

Les vecteurs $\overrightarrow{u}$, $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ sont donc coplanaires.