Orthogonalité et produit scalaire

Dans l'espace, on va pouvoir parler d'orthogonalité entre :
$\circ\quad$ Une droite et un plan
$\circ\quad$ Deux plans (il s'agit de plans perpendiculaires et non de plans orthogonaux)
$\circ\quad$ Deux droites

Définition : Une droite est orthogonale à un plan P si elle est orthogonale à deux droites sécantes du plan. Le plan $(P)$ est entièrement déterminé par la donnée d'un point $A$ et de deux vecteurs non colinéaires de ce plan $\overrightarrow u$ et $\overrightarrow v$.
Une droite de l'espace est entièrement déterminée par un point $F$ et un vecteur directeur (donc non nul), ici $\overrightarrow w$.

Définition : Une droite $(D)$ de l'espace est orthogonale au plan $(P)$ si elle est orthogonale à deux vecteurs non colinéaires du plan.

Avec les notations de la figure, on peut écrire : ${\boxed{(D)\perp (P)\iff \overrightarrow w\cdot \overrightarrow u= \overrightarrow w\cdot \overrightarrow v=0}}$

Définition : On dit que $\overrightarrow w$ est un vecteur normal au plan $(P)$.

Propriété : Si une droite $(D)$ est orthogonale à un plan $(P)$ alors elle est orthogonale à toute droite de ce plan.
Méthode possible :
Si une équation du plan est connue ainsi qu'un de ses vecteurs normaux, il suffit de vérifier que $\overrightarrow w$ est bien un vecteur normal au plan $(P)$.

Définition : Deux plans sont perpendiculaires lorsque l'un contient une droite orthogonale à l'autre.

Méthode : Il suffit de montrer qu'un vecteur directeur de la droite (ici dessinée verticalement) est orthogonal aux deux droites contenues dans $(P)$, ce qui se fait avec le produit scalaire.

Beaucoup plus rapidement, lorsque les équations de plans sont connues, on peut dire : $(P)\perp (Q)\iff \overrightarrow{n_P}\text{ et } \overrightarrow{n_Q}\text{ sont orthogonaux}$ où $\overrightarrow{n_P}\text{ (respectivement } \overrightarrow{n_Q})$ est un vecteur normal à $(P)\text{ (respectivement } Q)$

D'où le résultat : ${\boxed{(P)\perp (Q)\iff \overrightarrow{n_P}\cdot \overrightarrow{n_Q}=0}}$

Sur cette représentation, $(D_1)\perp (D_2)$

Définition :
Deux droites de l'espace sont orthogonales lorsque leurs parallèles passant par un point quelconque sont perpendiculaires

Propriété : Deux droites sont orthogonales si un vecteur directeur de l'une est orthogonal à un vecteur directeur de l'autre.
Si $\overrightarrow{v_1}$ est un vecteur directeur de $(D_1)$ et $\overrightarrow{v_2}$ est un vecteur directeur de $(D_2)$ alors :

${\boxed{(D_1)\perp (D_2)\iff \overrightarrow{v_1}\cdot\overrightarrow{v_2}=0}}$

Méthode : Si les équations paramétriques des deux droites sont connues, il suffit de montrer que le produit scalaire de ces deux vecteurs est nul.

On considère le plan $(P)$ d'équation cartésienne : $2x−y+z−3=0$

et la droite $D$ donnée par son système d'équations paramétriques :

Vérifiez que la droite $D$ est perpendiculaire au plan $P$

Un vecteur normal au plan $P$ est $\overrightarrow{n_P} = (2, -1, 1)$, et un vecteur directeur de la droite $D$ est $\overrightarrow{v_D} = (4, -2, 2)$.

$\overrightarrow{v_D}=2\overrightarrow{n_P}$ donc $\overrightarrow{v_D}$ est aussi un vecteur normal au plan, et la droite $(D)$ est orthogonale au plan $(P)$.

On considère les deux plans suivants :

Plan $(P_1)$ d'équation cartésienne : $x−2y+z−1=0$

Plan $(P_2)$ d'équation cartésienne : $2x+y+3=0$

Montrez que les deux plans $P_1$ et $P_2$ sont perpendiculaires.

Pour $P_1$, un vecteur normal est $\overrightarrow{n_1} = (1, -2, 1)$

Pour $P_2$, un vecteur normal est $\overrightarrow{n_2} = (2, 1, 0)$

Calculons le produit scalaire : $\overrightarrow{n_1}\cdot\overrightarrow{n_2}=1\times 2+(-2)\times 1+1\times 0=0$

Les vecteurs sont orthogonaux donc les plans sont perpendiculaires.