Le produit scalaire permet de traduire analytiquement l’orthogonalité dans le plan, mais aussi dans l’espace.
I) Droites orthogonales
Soit une droite de vecteur directeur et une droite de vecteur directeur .
II) Droites et plans perpendiculaires
Un plan de l’espace peut être défini par la donnée d’un point et de deux vecteurs et non colinéaires et non nuls : ce plan est l’ensemble des points M de l’espace tels que avec .
On dit que et sont des vecteurs directeurs du plan .
À noter
Le couple détermine la direction du plan .
Soit une droite de vecteur directeur et un plan de vecteurs directeurs non colinéaires et
⊥ et
À noter
Le vecteur est alors un vecteur normal au plan .
III) Plans perpendiculaires
Soit un plan de vecteur normal et ′ un plan de vecteur normal
⊥ ′
Méthode
Démontrer l’orthogonalité à l’aide du produit scalaire
Dans l’espace muni d’un repère orthonormé , on considère le plan passant par le point et de vecteur normal et le plan ℛ dont est une équation cartésienne.
a. Démontrer que les plans et ℛ sont perpendiculaires.
b. Démontrer que l’intersection des plans et ℛ est la droite passant par le point et de vecteur directeur .
Conseils
a. Commencez par déterminer un vecteur normal au plan ℛ.
b. Vérifiez que C appartient à et à ℛ, puis que est orthogonal à un vecteur normal au plan et à un vecteur normal au plan ℛ.
Solution
a. Le plan ℛ a pour équation cartésienne donc est un vecteur normal à ℛ. Or , donc les plans et ℛ sont perpendiculaires.
À noter
est un vecteur normal au plan d’équation .
b. Des plans sécants et non confondus se coupent selon une droite. Notons la droite d’intersection de et ℛ.
donc les coordonnées de C vérifient une équation cartésienne du plan ℛ, ce qui prouve que C appartient à ℛ.
Déterminons une équation cartésienne du plan . est un vecteur normal au plan , donc admet une équation cartésienne de la forme : avec .
Le point appartient à donc : soit . Finalement, une équation cartésienne de est Or, donc C appartient à .
On en déduit que C appartient à Δ = ℛ.
Le vecteur est orthogonal à et à . En effet :
et Donc le vecteur est un vecteur directeur de la droite .
Conclusion : L’intersection des plans et ℛ est la droite passant par le point et de vecteur directeur .