Multiples et diviseurs de nombres entiers

I) Les points clés

$m$, $a$ et $b$ sont des nombres entiers.

$m = a \times b$
$m$ est multiple de $a$ et de $b$ alors que $a$ et  $b$ sont des diviseurs de $m$.

Exemple :
$35 = 5 \times 7$.

• $35$ est un multiple de $5$ et de $7$.
• Les nombres $5$ et $7$ divisent $35$ : les nombres $5$ et $7$ sont des diviseurs de $35$.
• $35$ est divisible par $5$ et par $7$.

Il faut savoir que :

• $1$ divise tout nombre entier ;
• tout nombre est divisible par lui-même : $m = 1 \times m$ ;
• un nombre n'ayant que deux diviseurs, $1$ et lui-même, est appelé nombre premier.

Les nombres premiers inférieurs à 20 sont : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 et 19.

II) Un peu de méthode

Utiliser les critères de divisibilité

Pour savoir si un nombre est divisible par un autre nombre, on peut utiliser les critères de divisibilité.

Un nombre entier est divisible :

• par 2 quand son chiffre des unités est 0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8 ;
• par 3 quand la somme de ses chiffres est un multiple de 3 ;
• par 4 quand le nombre formé par ses chiffres des dizaines et des unités est un multiple de 4 ;
• par 5 quand son chiffre des unités est 0 ou 5 ;
• par 9 quand la somme de ses chiffres est un multiple de 9 ;
• par 10 quand son chiffre des unités est 0.

Exemples :

• 694 est pair : il est divisible par $2$. En effet, $694 = 2 \times 347$.
• 594 est-il divisible par $3$ ?

Je calcule $5 + 9 + 4 = 18$. Or $18$ est un multiple de $3$ ($18 = 3 \times 6$).

Donc 594 est divisible par $3$. En effet, $594 = 3 \times 198$.

• 12 575 est divisible par $5$. En effet, $12 575 = 5 \times 2 515$.

• 582 192 est-il divisible par $9$ ?

Je calcule $5 + 8 + 2 + 1 + 9 + 2 = 27$.

Or 27 est un multiple de $9$ ($27 = 3 \times 9$).

Donc 582 192 est divisible par $9$. En effet, $582 192 = 9 \times 64 688$.

• 940 est divisible par $10$. En effet, $940 = 10 \times 94$.