Loi uniforme

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Dans le cas des variables aléatoires continues, la loi uniforme prolonge la loi uniforme des variables aléatoires discrètes.

I) Densité uniforme

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Définition : La densité uniforme sur l’intervalle [a ; b] est la fonction définie sur ℝ par :

f(x)={1b−a  si  x∈[a  ;  b]0  si  x  ∉[a  ;  b]

Justification : La fonction f est visiblement positive et continue par morceaux (il y a deux points de discontinuité). De plus l’aire du domaine compris entre la courbe et l’axe des abscisses se réduit à l’aire d’un rectangle dont les dimensions sont b − a et 1b−a qui vaut bien 1.

II) Loi uniforme

Définition : Dire que la loi d’une variable aléatoire X est la loi uniforme sur [a ; b] signifie que la densité de X est la densité uniforme. Pour tout x ∈ ℝ, sa fonction de répartition F est ainsi définie :

{si  x ⩽ a,  F(x)=P(X ⩽ x)=0si  a<x<b,  F(x)=P(X ⩽ x)=x−ab−asi  x ⩾ b,  F(x)=  P(X ⩽ x)=1

On dit souvent en abrégé que X est une variable aléatoire uniforme sur [a ; b] et on écrit : X~  U([a ; b]).

Espérance et variance :

EX=a+b2 et VX=b−a212

Pour tous nombres c et d compris entre a et b : Pc ⩽ X ⩽ d=d−cb−a.

C’est l’aire du rectangle de largeur d − c et de hauteur 1b−a.

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Méthodes

1)  Formaliser la loi uniforme sur [0 ; 1]

a. Déterminer la densité uniforme f sur [0 ; 1].

b. Soit X une variable aléatoire uniforme sur [0 ; 1]. Déterminer la fonction de répartition de X et la représenter graphiquement.

Conseils

a. Appliquez les résultats du cours avec a = 0 et b = 1.

b. La fonction de répartition de X est définie par F(x) = P(X ≤ x).

a. On a ici a = 0 et b = 1.

Donc fx=1  si  x∈[0  ;  1]0  si  x∉[0  ;  1]

b. On trouve :

F(x)=P(X ⩽ x)={0  si  x ⩽ 0x  si  0<x<11  si  x ⩾ 1

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2)  Utiliser une loi uniforme

Un distributeur de boissons est électroniquement contrôlé pour verser dans le gobelet une quantité aléatoire comprise entre 190 ml et 210 ml. Soit X la variable aléatoire égale au volume versé dans le gobelet.

1. Trouver la loi de X.

2. En déduire la probabilité pour que l’on ait :

a. moins de 196 ml ; b. entre 193 et 201 ml.

3. Quelle quantité un utilisateur obtient-il en moyenne ?

Conseils

1. Remarquez qu’aucune quantité n’est privilégiée.

2.a. C’est la probabilité que la quantité X soit inférieure ou égale à 196.

b. C’est la probabilité que la quantité X soit comprise entre 193 et 201.

c. Pensez à la signification de l’espérance.

 

Solution

1. La quantité X est un nombre pris au hasard dans l’intervalle [190 ; 210]. Donc X suit la loi uniforme sur l’intervalle [190 ; 210].

2.a. On cherche P(X ≤ 196) et PX ≤ 196=196−190210−190=620=0,3.

b. Cela correspond à P193 ≤ X ≤ 201=201−193210−190=820=0,4.

3. Un utilisateur peut espérer avoir 200 ml car EX=190+2102=200.