La loi exponentielle est une loi sans mémoire. Autrement dit la probabilité pour qu’un événement survienne entre deux instants dépend uniquement de sa durée et non de la date de son début.

I) Densité exponentielle

Définition : Soit λ un nombre strictement positif. La densité de probabilité exponentielle de paramètre λ est la fonction définie sur ℝ par :

$f (x) = {\begin{matrix} λ e^{- λ x} si x ⩾ 0 \\ 0 si x < 0 \end{matrix}$

Exemple : Représentation graphique de f pour λ = 0,5 :

f9cf2e82-cf7c-4dee-a9d0-e78f08d15325

II) Loi exponentielle

Définition : Dire que la loi d’une variable aléatoire X est la loi exponentielle de paramètre λ signifie que la densité de X est la densité exponentielle de paramètre λ. Pour tout x ∈ ℝ, sa fonction de répartition est :

${\begin{matrix} F (x) = P (X ⩽ x) = 0 si x ⩽ 0 \\ F (x) = P (X ⩽ x) = 1 - e^{- λ x} si x > 0 \end{matrix}$

c4d877fc-e40b-4d8e-94a9-483c2439711c

On écrit $X ~ E (λ)$ .

P(a ≤ X ≤ b) est l’aire du domaine coloré sur la figure ci-contre et vaut :

P(a ≤ X ≤ b) = 1 − e⁻^λ^b − (1 − e⁻^λ^a) = e⁻^λ^a − e⁻^λ^b.

L’espérance de X est $E (X) = \frac{1}{λ}$ et la variance de X est $V (X) = \frac{1}{λ^{2}}$ .

La loi exponentielle est sans mémoire. Pour tout x et tout a > 0 :

P(X > a) = P_X_>_x(X > x + a).

Méthode

Utiliser la loi exponentielle

Soit X une variable aléatoire exponentielle de paramètre λ > 0. On suppose que $P (X ⩽ 2) = \frac{1}{2}$ .

a. Calculer λ.

b. Donner alors la valeur exacte de P(2 ≤ X ≤ 4).

c. Calculer la valeur exacte de P(X ≥ 3).

d. Calculer P(X ≥ x) pour tout x ∈ ℝ et tracer la courbe de x ↦ P(X ≥ x).

Conseils

a. Il suffit de revenir à la définition de P(X ≤ 2) pour une variable aléatoire exponentielle. Pour résoudre l’équation obtenue où figure une exponentielle, utilisez la fonction logarithme népérien.

b. On sait que pour tout a ≥ 0 et tout b ≥ 0 tels que a ≤ b, P(a ≤ X ≤ b) = e⁻^λ^a − e⁻^λ^b.

c. Pensez à utiliser l’événement contraire.

d. Généralisez le cas précédent en tenant compte du signe de x.

a. P(X ≤ 2) = 1 − e⁻²^λ, donc $1 - e^{- 2 λ} = \frac{1}{2}$ , soit $e^{- 2 λ} = \frac{1}{2}$ et $- 2 λ = \ln (\frac{1}{2})$ .

On a alors $λ = - \frac{\ln (\frac{1}{2})}{2} = \frac{\ln (2)}{2}$ .

b. $P (2 ⩽ X ⩽ 4) = e^{- 2 λ} - e^{- 4 λ} = e^{- 2 \frac{1}{2} \ln (2)} - e^{- 4 \frac{1}{2} \ln (2)}$ .

Or $- 2 \frac{1}{2} \ln (2) = - \ln (2)$ et $e^{- \ln (2)} = e^{\ln (\frac{1}{2})} = \frac{1}{2}$ .

De même $- 4 \frac{1}{2} \ln (2) = - 2 \ln (2)$ et $e^{- 2 \ln (2)} = e^{2 \ln (\frac{1}{2})} = e^{\ln (\frac{1}{4})} = \frac{1}{4}$ .

Donc $P (2 ⩽ X ⩽ 4) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$ .

c. On sait que P(X ≥ 3) = 1 − P(X < 3). D’autre part P(X < 3) = P(X ≤ 3) donc $P (X ⩾ 3) = 1 - (1 - e^{- 3 λ}) = e^{- 3 \ln (2)} = {(e^{- \ln (2)})}^{3} = {(\frac{1}{2})}^{3} = \frac{1}{8}$ .

d. Si x ≥ 0 on trouve $P (X ⩾ x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ par analogie.

Si x < 0 alors P(X ≥ x) = 1 − P(X < x) = 1 car dans ce cas P(X < x) = 0.