Loi exponentielle

La loi exponentielle est une loi sans mémoire. Autrement dit la probabilité pour qu’un événement survienne entre deux instants ­dépend uniquement de sa durée et non de la date de son début.

Définition : Soit $\lambda$ un nombre strictement positif. La densité de probabilité exponentielle de paramètre $\lambda$ est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par :

Exemple : Représentation graphique de $f$ pour $\lambda = 0,5$ :

Définition : Dire que la loi d’une variable aléatoire X est la loi exponentielle de paramètre λ signifie que la densité de X est la densité exponentielle de paramètre λ. Pour tout x ∈ ℝ, sa fonction de répartition est :

On écrit $X \sim E(\lambda)$.

$P(a \leq X \leq b)$ est l’aire du domaine coloré sur la figure ci-contre et vaut :

$P(a \leq X \leq b) = 1 - e^{-\lambda b} - (1 - e^{-\lambda a}) = e^{-\lambda a} - e^{-\lambda b}$.

L’espérance de $X$ est $E(X) = \dfrac{1}{\lambda}$ et la variance de $X$ est $V(X) = \dfrac{1}{\lambda^2}$.

La loi exponentielle est sans mémoire. Pour tout $x$ et tout a > 0 :

$P(X \gt a) = P_{X \gt x}(X \gt x + a)$.

Méthode : Utiliser la loi exponentielle

Soit $X$ une variable aléatoire exponentielle de paramètre \lambda > 0. On suppose que $P(X \leq 2) = \frac{1}{2}$.

a. Calculer $\lambda$.

b. Donner alors la valeur exacte de $P(2 \leq X \leq 4)$.

c. Calculer la valeur exacte de $P(X \geq 3)$.

d. Calculer $P(X \geq x)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$ et tracer la courbe de $x \mapsto P(X \geq x)$.

Conseils

a. Il suffit de revenir à la définition de $P(X \leq 2)$ pour une variable aléatoire exponentielle. Pour résoudre l’équation obtenue où figure une exponentielle, utilisez la fonction logarithme népérien.

b. On sait que pour tout $a \geq 0$ et tout $b \geq 0$ tels que $a \leq b$, $P(a \leq X \leq b) = e^{-\lambda a} - e^{-\lambda b}$.

c. Pensez à utiliser l’événement contraire.

d. Généralisez le cas précédent en tenant compte du signe de $x$.

Solution :

a. $P(X \leq 2) = 1 - e^{-2\lambda}$, donc $1 - e^{-2\lambda} = \frac{1}{2}$, soit $e^{-2\lambda} = \frac{1}{2}$ et $-2\lambda = \ln(\frac{1}{2})$.

On a alors $\lambda = -\frac{\ln(\frac{1}{2})}{2} = \frac{\ln(2)}{2}$.

b. $P(2 \leq X \leq 4) = e^{-2\lambda} - e^{-4\lambda} = e^{-\frac{2}{2}\ln(2)} - e^{-\frac{4}{2}\ln(2)}$.

Or $-\frac{2}{2}\ln(2) = -\ln(2)$ et $e^{-\ln(2)} = e^{\ln(\frac{1}{2})} = \frac{1}{2}$.

De même $-\frac{4}{2}\ln(2) = -2\ln(2)$ et $e^{-2\ln(2)} = e^{\ln(\frac{1}{4})} = \frac{1}{4}$.

Donc $P(2 \leq X \leq 4) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$.

c. On sait que $P(X \geq 3) = 1 - P(X \lt 3)$. D’autre part $P(X \lt 3) = P(X \leq 3)$ donc $P(X \geq 3) = 1 - (1 - e^{-3\lambda}) = e^{-3\lambda} = e^{-3\ln(2)} = (e^{-\ln(2)})^3 = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$.

d. Si $x \geq 0$ on trouve $P(X \geq x) = \frac{1}{2^x}$ par analogie.

Si $x \lt 0$ alors $P(X \geq x) = 1 - P(X \lt x) = 1$ car dans ce cas $P(X \lt x) = 0$.