Espérance et variance de variables aléatoires continues

Les notions d’espérance et de variance de variables ­aléatoires continues généralisent celles que l’on connaît pour les variables ­aléatoires discrètes.

Définition : L’espérance d’une variable aléatoire $X$ dont la densité de probabilité est $f$ est le nombre noté $E(X)$ :

Remarque : Souvent la densité de probabilité est définie sur des intervalles bornés ou semi-bornés. Le calcul de l’intégrale se résume alors à un calcul entre a et b ou entre −∞ et b ou entre a et +∞.

Propriété : Comme pour les variables aléatoires discrètes, l’espérance est linéaire. Pour tous réels $a$ et $b$ : $E(aX + b) = aE(X) + b$

Définition : La variance d’une variable aléatoire $X$ dont la densité de probabilité est $f$ est le nombre noté $V(X)$ : $V(X) = \begin{aligned} \int_{-\infty}^{+\infty} t^2 f(t) dt \end{aligned} - (E(X))^2$

Pour calculer la variance d’une variable aléatoire il est donc nécessaire d’avoir calculé au préalable son espérance.

La variance est un indicateur de la dispersion des valeurs de X autour de son espérance : plus la variance est grande et plus les valeurs de X sont dispersées (on dit aussi étalées) autour de l’espérance.

Exemples : Courbes de densités de probabilité de variables aléatoires X d’espérance 3 et de variances plus ou moins grandes.

On pose

1 .Montrer que $f$ est une densité de probabilité.

2. Vérifier que $F$ définie par $F(t) = e^{-t}(-t - 1)$ est une primitive de $t \mapsto t e^{-t}$.

3. Montrer que $\begin{aligned} \int_{0}^{A} t e^{-t} dt \end{aligned} = -A e^{-A} - e^{-A} + 1$.

4. Calculer l’espérance de la variable aléatoire $X$ de densité $f$.

Conseils

1.Utilisez les formules du cours et la limite : $\lim\limits_{x \to +\infty} e^{-x} = 0$.

2.La dérivée de $x \mapsto e^{ax}$ est $x \mapsto a e^{ax}$ (où $a$ est une constante). Utilisez la formule de la dérivée d’un produit de fonctions : $u v' = u'v + uv'$.

3.Si $F$ est une primitive de $f$, alors $\begin{aligned} \int_{a}^{b} f(t) dt \end{aligned} = F(b) - F(a)$.

4.Utilisez $\lim\limits_{x \to +\infty} x e^{-x} = 0$.

Solution :

1.La fonction $f$ est évidemment positive et continue par morceaux.

De plus,

$\begin{aligned} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) dt \end{aligned} = \begin{aligned} \int_{0}^{+\infty} f(t) dt \end{aligned} = \lim\limits_{x \to +\infty} \begin{aligned} \int_{0}^{x} f(t) dt \end{aligned}$ .

Or

$\begin{aligned} \int_{0}^{x} f(t) dt \end{aligned} = \left[ -e^{-t} \right]_{0}^{x} = 1 - e^{-x}$.

De plus, $\lim\limits_{x \to +\infty} e^{-x} = 0$.

Il en résulte que $\lim\limits_{x \to +\infty} \begin{aligned} \int_{0}^{x} f(t) dt \end{aligned} = 1$.

On a donc bien $\begin{aligned} \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) dt = 1 \end{aligned}$.

C’est pourquoi $f$ est une densité de probabilité.

2.On a :

$F'(t) = -e^{-t}(-t - 1) + e^{-t}(-1) = e^{-t}(t + 1 - 1) = t e^{-t}$.

3. $\begin{aligned} \int_{0}^{A} t e^{-t} dt \end{aligned} = F(A) - F(0) = e^{-A}(-A - 1) - e^{0}(-1) = -A e^{-A} - e^{-A} + 1$.

4. On sait que :

$E(X) = \begin{aligned} \int_{-\infty}^{+\infty} t f(t) dt \end{aligned} = \begin{aligned} \int_{0}^{+\infty} t e^{-t} dt \end{aligned} = \lim_{A \to +\infty} \begin{aligned} \int_{0}^{A} t e^{-t} dt \end{aligned}$.

De plus, $\lim\limits_{A \to +\infty} \left( -A e^{-A} - e^{-A} + 1 \right) = 0 + 0 + 1 = 1$ .

Donc $E(X) = \begin{aligned} \int_{0}^{+\infty} t e^{-t} dt = 1 \end{aligned}$.