Le nombre dérivé et la tangente

Le taux de variation mesure une évolution sur un intervalle.
Mais on souhaite souvent connaître l’évolution à un instant précis.

Pour cela, on considère un intervalle de plus en plus petit autour d’un point.

I. Définition

Soit $f$ une fonction et $x_0$ un réel.

On appelle nombre dérivé de $f$ en $x_0$ la limite du taux de variation lorsque l’intervalle devient très petit :

$f'(x_0)=\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

Ce nombre mesure la variation instantanée de la fonction.

On utilise différentes notations : $f'(x_0)$, $\dfrac{df}{dx}(x_0)$

II. Interprétation géométrique

Le nombre dérivé correspond à la pente de la tangente à la courbe au point d’abscisse $x_0$.

La tangente est la droite qui touche la courbe au point considéré et qui possède la même direction que la courbe en ce point.

Exemple

Pour la fonction : $f(x)=x^2$

on obtient : $f'(x)=2x$

Ainsi : $f'(2)=4$

La pente de la tangente à la courbe au point d’abscisse $2$ est donc $4$.

III. Équation de la tangente

La tangente au point $x_0$ possède pour équation :

$y=f(a)+f'(a)(x-a)$

Exemple

Pour $f(x)=x^2$ au point $a=1$ :

$f(1)=1$
$f'(1)=2$

Une équation de la tangente peut s'écrire : $y=1+2(x-1)$ ou encore $y=2x+1$.

IV. Et en physique ?

Si $f(t)$ représente la position d’un mobile, alors $f'(t)$ représente sa vitesse instantanée.

La dérivée permet donc de décrire précisément le mouvement.

Exemple : la chute d’un objet

On lâche une petite bille depuis un point situé au-dessus du sol.
On note $t$ le temps (en secondes) et $f(t)$ la hauteur de la bille au-dessus du sol (en mètres).

Dans un modèle simple de chute libre, la hauteur peut être décrite par la fonction :

$f(t)=20-5t^2$

La bille est initialement à 20 m du sol.

Calcul de la dérivée

La dérivée de la fonction est : $f'(t)=-10t$

Cette dérivée représente la vitesse instantanée de la bille.

Interprétation physique

À l’instant $t=1$ s : $f'(1)=-10$

La vitesse instantanée est donc : $-10$ m/s.

Le signe négatif signifie que la bille descend vers le sol.

À l’instant $t=2$ s : $f'(2)=-20$

La vitesse est maintenant -20 m/s, ce qui signifie que la bille tombe de plus en plus vite.

Interprétation

La fonction $f(t)$ décrit la position de l’objet.

La dérivée $f'(t)$ décrit la vitesse instantanée de l’objet à chaque instant.

La dérivée permet donc de connaître la vitesse exacte du mobile à chaque instant, et pas seulement une vitesse moyenne.