Approximation affine d’une fonction

Au voisinage d’un point, une fonction peut être approximée par une droite.

Cette idée est fondamentale pour effectuer des calculs approchés.

I. Formule d’approximation affine

Au voisinage d’un point $x_0$, on peut écrire :

$f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$

Cette expression correspond à l’équation de la tangente.

La fonction est donc approchée par sa tangente.

On obtient : $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\approx f'(x_0)$ ce qui s'écrit également : $\boxed{\Delta y\approx f'(x_0)\Delta x}$

Exemple

On considère la fonction : $f(x)=x^2$

Au voisinage de $x_0=2$ :

$f(2)=4$
$f'(2)=4$

L’approximation affine donne :

$f(x)\approx 4+4(x-2)$

Si $x=2,1$ : on obtient $f(2,1)\approx 4+4(0,1)=4,4$

Or la valeur exacte est : $f(2,1)=4,41$

L’approximation est donc très proche.

II. Et en physique ?

L’approximation affine permet d’estimer la variation d’une grandeur sur un intervalle très court de temps.

Par exemple : une variation d’énergie, une variation de position ou variation de concentration.

Exemple : la variation de la position d’un véhicule

On étudie le déplacement d’une voiture sur une route.
On note $t$ le temps (en secondes) et $f(t)$ la position de la voiture (en mètres).

À l’instant $t=5$ s, la voiture se trouve à : $f(5)=120$ m

On sait que sa vitesse instantanée à cet instant est : $f'(5)=18$ m/s

On veut estimer la position de la voiture 0,1 seconde plus tard.

La variation de temps est : $\Delta t=0,1$

Grâce à l’approximation affine : $\Delta f \approx f'(5)\Delta t$

Donc : $\Delta f \approx 18\times0,1$

$\Delta f \approx 1,8$

La position de la voiture augmente donc d’environ 1,8 m.

La position estimée devient : $f(5,1)\approx120+1,8$

$f(5,1)\approx121,8$

Conclusion : $0,1$ seconde plus tard, on peut estimer la position de la voiture à $121,8$ m

Pourquoi ?

Sur un intervalle de temps très court, le mouvement du véhicule peut être approximé par un mouvement uniforme.

La dérivée donne alors une estimation rapide de la variation de position.

Autre exemple :

Pour une concentration chimique : si la concentration augmente à $0,02$ mol/L par seconde, alors en $0,5$ s elle augmente d’environ $0,01$ mol/L.

Dans tous ces cas, la dérivée permet d’approximer l’évolution d’une grandeur sur un temps très court.