Forces de frottement et aspects énergétiques

I. Rappels de première

• La présente fiche s'inscrit dans la continuité des notions vues en classe de première :

  $\circ\quad$ Énergie ;

  $\circ\quad$ Travail d'une force ;

  $\circ\quad$ Puissance moyenne (la puissance instantanée ayant été introduite en terminale : L'énergie et ses enjeux) ;

  $\circ\quad$ Énergies cinétique, potentielle et mécanique ;

  $\circ\quad$ Forces conservatives ou non ;

  $\circ\quad$ Systèmes conservatifs ou non ;

  $\circ\quad$ Théorème de l'énergie cinétique ;

  $\circ\quad$ Théorème de l'énergie mécanique.

• Il est donc essentiel de relire la fiche de cours suivante pour réviser ces notions :

Aspects énergétiques des phénomènes mécaniques

II. Force de frottement entre un fluide et un solide

• Lorsqu'un solide se déplace dans un fluide (air, eau, etc.), il subit une force de résistance appelée force de frottement fluide. Cette force s'oppose au mouvement et dépend de plusieurs facteurs :

  $\circ\quad$ De la vitesse du solide ;

  $\circ\quad$ De la nature du fluide ;

  $\circ\quad$ De la forme et de la dimension du solide ;

  $\circ\quad$ De l'état de la surface du solide.

• Pour des vitesses très faibles, la force de frottement est proportionnelle à la vitesse :

  $\boxed{\overrightarrow{f} = - k \cdot \overrightarrow{v}}$

  où $k$ est le coefficient de frottement.

• Pour un solide se déplaçant à vitesse constante et élevée dans un fluide, la force de frottement fluide $\overrightarrow{f}$ peut être modélisée par la relation suivante :

  $\boxed{\overrightarrow{f} = - \dfrac{1}{2} \cdot C_x \cdot \rho \cdot S \cdot v \cdot \overrightarrow{v}}$

  où :

  $\circ\quad$ $f = \dfrac{1}{2} \cdot C_x \cdot \rho \cdot S \cdot v^2$ est la force de frottement fluide en newtons ($N$) ;

  $\circ\quad$ $C_x$ est le coefficient de traînée (sans unité) ;

  $\circ\quad$ $\rho$ est la masse volumique du fluide en kilogrammes par mètre cube ($kg/m^3$) ;

  $\circ\quad$ $S$ est la surface frontale du solide en mètres carrés ($m^2$) ;

  $\circ\quad$ $v$ est la vitesse relative du solide par rapport au fluide en mètres par seconde ($m/s$).

• Remarques :

  $\circ\quad$ Le coefficient de traînée $C_x$ dépend de la forme du solide et de la nature de l'écoulement (laminaire pour des vitesses très faibles, ou turbulent pour des vitesses élevées) ;

  $\circ\quad$ $\overrightarrow{f}$ et $\overrightarrow{v}$ sont de sens contraires ;

  $\circ\quad$ Lorsque les vitesses sont élevées, la force de frottement est proportionnelle au carré de la vitesse ; la relation peut donc également être écrite de la façon suivante :

  $\boxed{\overrightarrow{f} = - k' \cdot v \cdot \overrightarrow{v}}$

  où $k'=\dfrac{1}{2} \cdot C_x \cdot \rho \cdot S$ est le coefficient de frottement.

  $\circ\quad$ Pour les vitesses très faibles, il existe des cas particuliers comme celui de la sphère lisse. Dans ce cas précis, on utilise la relation de Stokes :

  $\boxed{\overrightarrow{f} = - 6 ~\pi \cdot R \cdot \eta \cdot \overrightarrow{v}}$

  avec

  $\circ\quad$ $\overrightarrow{f}$ en $N$ ;

  $\circ\quad$ $R$ le rayon en $m$ ;

  $\circ\quad$ $\eta$ le coefficient de viscosité en $N.s.m^{-2}$ ;

  $\circ\quad$ $\overrightarrow{v}$ en $m.s^{-1}$.

• Exemple : un véhicule roulant à $30 \, \text{m/s}$ dans l'air ($\rho = 1,225 \, \text{kg/m}^3$) avec une surface frontale de $2,5 \, \text{m}^2$ et un coefficient de traînée $C_x = 0,3$ subit une force de frottement fluide :

  $\small f = \dfrac{1}{2} \cdot 0,3 \cdot 1,225 \cdot 2,5 \cdot (30)^2 = 413,4 \, \text{N}$

II. Force de frottement entre solides

• Lorsqu'un solide se déplace par rapport à un autre solide, il subit une force de frottement solide. Cette force dépend :

  $\circ\quad$ De la nature des matériaux en contact ;

  $\circ\quad$ De la réaction normale du support exercée entre les deux solides ;

  $\circ\quad$ De la rugosité des surfaces en contact.

  Pour un solide en translation à vitesse constante sur une surface horizontale, la force de frottement solide (également appelée force de frottement sec cinétique ou dynamique) a pour valeur :

  $\boxed{f~\text{ou}~R_t~\text{ou}~T = \mu \cdot N}$

  où :

  $\circ\quad$ $f$ est la force de frottement solide en newtons ($N$) ;

  $\circ\quad$ $\mu$ est le coefficient de frottement (sans unité) ;

  $\circ\quad$ $N$ (également notée $R_n$ ou $R_N$), est la réaction normale du support en newtons ($N$).

• Remarques :

  $\circ\quad$ Ne pas confondre la notation pour la valeur de la force et celle pour l'unité (le newton) ;

  $\circ\quad$ Cette relation est également appelée loi de Coulomb en mécanique ;

  $\circ\quad$ Le coefficient de frottement $\mu$ dépend des matériaux en contact et de leur état de surface (i.e. leur rugosité). Il existe deux types de coefficients ;

  $\quad \rightarrow$ Coefficient de frottement statique $\mu_s$ : pour un solide au repos,

  $\quad \rightarrow$ Coefficient de frottement cinétique ou dynamique $\mu_d$ : pour un solide en mouvement.

  $\quad \rightarrow$ La notation de la valeur de la force de frottement pourra être adaptée à ces situation (i.e. $f_s$ ou $f_d$).

  $\circ\quad$ $\overrightarrow{f}$ et $\overrightarrow{v}$ sont de sens contraires.

• Exemple :

  

  $\circ\quad$ Un bloc de masse $m = 10 \, \text{kg}$ se déplace sur une table horizontale. Le coefficient de frottement dynamique entre le bloc et la table est $\mu_d = 0,20$.

  $\circ\quad$ Bilan des forces appliquées à ce système :

  $\quad \rightarrow$ Le poids du bloc de masse, de valeur $P = m \cdot g$ ;

  $\quad \rightarrow$ La réaction normale du support, égale et opposée au poids du bloc. Sa valeur est donc :

  $N = P = m \cdot g$

  $\quad \rightarrow$ Ainsi, en vertu de la loi de Coulomb, la force de frottement solide (cinétique ou dynamique ici) a donc pour valeur :

  $f = \small \mu _d \cdot N = \mu _d \cdot m \cdot g = 0,20 \cdot 10 \cdot 9,81 = 20 \, \text{N}$

III. Aspects énergétiques

1. Travail d'une force : rappel

• Lorsqu'une force de frottement s'applique à un solide en mouvement, elle effectue un travail mécanique qui entraîne une dissipation d'énergie. Cette énergie est généralement transformée en chaleur, ce qui augmente la température des solides en contact.

• L'expression du travail d'une force constante $\overrightarrow{F}$ sur un déplacement $\overrightarrow{AB}$, notée $W_{AB}(\overrightarrow{F})$, est donnée par la formule :

  

  $\boxed{W_{AB} (\overrightarrow{F}) = \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{AB} = F \times AB \times \cos \alpha}$

  $\circ\quad$ $W_{AB}(\overrightarrow{F})$ : travail de la force $\overrightarrow{F}$ en joule ($J$) ;

  $\circ\quad$ $F$ : intensité de la force ($N$) ;

  $\circ\quad$ $AB$ : distance parcourue ($m$) ;

  $\circ\quad$ $(\widehat{\overrightarrow{F} , \overrightarrow{AB}}) = \alpha$ : angle entre le vecteur $\overrightarrow{F}$ et le vecteur $\overrightarrow{AB}$.

• Remarques :

  $\circ\quad$ Le travail est un produit scalaire entre deux vecteurs : il peut être positif, négatif ou nul.

  $\circ\quad$ Le travail d'une force constante est indépendant du chemin parcouru.

• Dans le cas d'un solide en translation horizontale, $\alpha = 180\degree$ (la force de frottement s'oppose au mouvement), donc :

  $W_{AB} (\overrightarrow{f_d}) = -f_d \cdot AB \lt 0$

• Propriété : comme $90^o < \alpha \le 180\degree$, $W_{AB}(\overrightarrow{f}) \lt 0$, le travail d'une force de frottement est résistant.

2. Théorème de l'énergie cinétique : rappel

• Les lois du mouvement permettent de démontrer une relation très importante entre travail des forces et variation de l'énergie cinétique d'un système.

• Théorème de l'énergie cinétique :

  La variation d'énergie cinétique d'un point matériel entre les points $A$ et $B$, est égale à la somme des travaux de toutes les forces appliquées au mobile sur le trajet $\widehat{AB}$ :

  $\boxed{\Delta E_c = \dfrac{1}{2} \cdot \text{m} \cdot v_B^2-\dfrac{1}{2} \cdot \text{m} \cdot v_A^2 =\displaystyle \sum W_{AB} (\overrightarrow{F})}$

  avec :

  $\circ\quad$ $\Delta E_c$ : variation d'énergie cinétique (en $J$) ;

  $\circ\quad$ $m$ : masse du point matériel (en $kg$) ;

  $\circ\quad$ $v_A$ et $v_B$ : vitesse du point matériel en $A$ et en $B$ (en $m \cdot s^{-1}$) ;

  $\circ\quad$ $\displaystyle \sum W_{AB}(\overrightarrow{F})$ : somme des travaux des forces sur le trajet $\widehat{AB}$.

  Ce théorème n'est toutefois valable que si le référentiel d'étude est galiléen.

• Remarque : si le solide se déplace à vitesse constante, sa variation d'énergie cinétique est nulle, et le travail des forces extérieures compense le travail de la force de frottement.

• Exemple :

  

  $\circ\quad$ Un véhicule de masse $m = 1000 \, \text{kg}$ roule à vitesse constante sur une route horizontale. La force de frottement fluide est $f = 500 \, \text{N}$. Sur une distance $d=100 \, \text{m}$, le travail de la force de frottement est :

  $W = -f \cdot d = 500 \cdot 100 = -50\,000 \, \text{J}$

  $\circ\quad$ La variation d'énergie cinétique du véhicule est nulle, car sa vitesse est constante :

  $\displaystyle \Delta E_c = \sum W_{AB}(\overrightarrow{F})= \overrightarrow{0}$

IV. Statique et dynamique - Les lois de Newton

La fiche de cours suivante pour réviser a introduit ces notions, avec un cas concret faisant intervenir la force de frottement composée : à la fois le freinage du véhicule (frottement solide entre le disque et les plaquettes de frein) et le frottement fluide exercée par l'air :

Statique et dynamique - Les lois de Newton

_{= Merci à krinn / gbm / Skops pour avoir essentiellement contribué à l'élaboration de cette fiche =}