Mouvement d'un solide autour d'un axe fixe

I. Rappels de première

• La présente fiche s'inscrit dans la continuité des notions vues en classe de première :

  $\circ\quad$ Les forces ;

  $\circ\quad$ Le mouvement d'un système, en particulier le mouvement circulaire d'un système.

• Il est donc essentiel de relire les fiches de cours suivantes pour réviser ces notions :

  Relativité du mouvement

  Modélisation d'une action par une force

II. Mouvement d'un solide autour d'un axe fixe

1. Notion

• Définition :

  Un mouvement de rotation se caractérise par un solide qui tourne autour d'un axe fixe. Chaque point du solide décrit un cercle centré sur l'axe de rotation.

  

• Remarques :

  $\circ\quad$ Au lycée, les systèmes (= objet que l'on souhaite étudier) sont toujours assimilés à un point matériel qui concentre toute sa masse ;

  $\circ\quad$ Le centre de gravité et le centre de masse (ou centre d'inertie) des systèmes étudiés sont supposés confondus : on utilise donc les $3$ termes indistinctement.

2. Vitesse linéaire et vitesse angulaire

$\textcolor{purple}{\text{a. Vitesse linéaire}}$

• Rappel : la notion de vitesse linéaire a été largement revue de la seconde à la terminale, notamment ici :

  Représentation et variation d'un vecteur vitesse

Mouvement d'un système (STI2D)

• Propriétés :

  $\circ\quad$ Pour rappel, le vecteur vitesse est à tout instant tangent à la trajectoire ;

  

  $\circ\quad$ Si le module du vecteur vitesse est constant au cours de la rotation, on dit que la rotation est uniforme. Le mouvement est donc dit mouvement circulaire uniforme.

$\textcolor{purple}{\text{b. Vitesse angulaire}}$

• La vitesse linéaire est décrite par le vecteur vitesse. Or ce qui est souvent connu c’est la vitesse angulaire $\omega$ de l’axe d’entraînement.

• Définition :

  La vitesse angulaire $\omega$ d’un solide en rotation est le rapport entre l'angle $\theta$ balayé et la durée $\Delta t$ nécessaire pour balayer cet angle :

  $\boxed{\omega = \dfrac{\theta}{\Delta t}}$

  où :

  $\circ\quad$ $\omega$ est la vitesse angulaire en radian(s) par seconde ($rad/s$) ;

  $\circ\quad$ $\theta$ est l'angle de rotation en radian(s) ($rad$) ;

  $\circ\quad$ $\Delta t$ est la durée de rotation en seconde(s) ($s$).

  

• Remarque : pour convertir des degrés en radians (ou réciproquement), il convient de retenir la relation suivante et de procéder à une règle de trois (ou produit en croix) vue dans le cours de mathématiques :

  $\boxed{360 \degree = 2 \pi ~\text{rad}}$

$\textcolor{purple}{\text{c. Relation entre vitesse linéaire et angulaire}}$

• Propriété :

  La vitesse linéaire $v$ d'un point matériel est liée à sa vitesse angulaire $\omega$ et à la distance $R$ de ce point à l'axe de rotation par la relation :

  $\boxed{v = R \times \omega}$

  où :

  $\circ\quad$ $v$ est la vitesse linéaire en mètre(s) par seconde ($m/s$),

  $\circ\quad$ $\omega$ est la vitesse angulaire en radian(s) par seconde ($rad/s$),

  $\circ\quad$ $r$ est la distance à l'axe de rotation en mètre(s) ($m$).

• Remarque :

  La distance $r$ de ce point matériel par rapport à l'axe de rotation correspond au rayon du cercle décrivant la trajectoire de ce point.

• Exemple :

  Une roue de bicyclette de rayon $r = 0,35 \, \text{m}$ tourne à une vitesse angulaire $\omega = 10 \, \text{rad/s}$. La vitesse linéaire d'un point situé à la périphérie de la roue est :

  $v = 10 \times 0,35 = 3,5 \, \text{m/s}$

III. Moment d'une force

• Définition :

  Le moment d'une force $\overrightarrow{F}$ par rapport à un axe de rotation $\Delta$ mesure l'aptitude de cette force à faire tourner le solide autour de cet axe. Il est défini par :

  $\boxed{\mathcal{M}_{\Delta}(\overrightarrow{F}) = \pm F \times a}$

  où :

  $\circ\quad$ $\mathcal{M}_{\Delta}(\overrightarrow{F})$ est le moment de la force en newton-mètres ($N·m$) ;

  $\circ\quad$ $F$ est la norme de la force en newtons ($N$) ;

  $\circ\quad$ $a$ est le bras de levier, c'est-à-dire la distance entre la ligne d'action de la force et l'axe de rotation (mesurée perpendiculairement à la ligne d'action) en mètres ($m$).

• Convention :

  $\circ\quad$ En physique, pour indiquer le sens de rotation d’un corps, on utilise le sens trigonométrique (encore appelé sens géométrique) :

  

  $\quad\quad \rightarrow$ Le sens trigonométrique positif correspond au sens de rotation contraire à celui des aiguilles d’une montre ;

  $\quad\quad \rightarrow$ Le sens trigonométrique négatif correspond au sens de rotation identique à celui des aiguilles d’une montre.

  $\circ\quad$ Le signe du moment dépend donc du sens de rotation :

  $\quad\quad \rightarrow$ Moment positif (sens trigonométrique, anti-horaire) : $\mathcal{M}_{\Delta}(\overrightarrow{F}) = +F \cdot a$ ;

  $\quad\quad \rightarrow$ Moment négatif (sens horaire) : $\mathcal{M}_{\Delta}(\overrightarrow{F}) = -F \cdot a$.

• Exemple :

  Soit la figure suivante :

  

  $\circ\quad$ $\mathcal{M}_{\Delta}(\overrightarrow{F_1}) = -F_1 \cdot a_1$ (moment négatif) ;

  $\circ\quad$ $\mathcal{M}_{\Delta}(\overrightarrow{F_2}) = +F_2 \cdot a_2$ (moment positif).

IV. Couple de forces

• Définition :

  Un couple de forces est un ensemble de deux forces parallèles, de même norme, de sens opposés, et non alignées. Un couple ne peut pas être équilibré par une seule force, il produit toujours un mouvement de rotation.

  Le moment d'un couple est donné par :

  $\mathcal{C} = F \times d$

  où :

  $\circ\quad$ $\mathcal{C}$ est le moment du couple en newton-mètres ($N·m$) ;

  $\circ\quad$ $F$ est la norme de chacune des forces en newtons ($N$) ;

  $\circ\quad$ $d$ est la distance entre les lignes d'action des deux forces en mètres ($m$).

• Remarque :

  $\circ\quad$ Le moment d'un couple est positif ou négatif selon le sens de rotation qu'il tend à produire ;

  $\circ\quad$ Pour un couple de forces $\overrightarrow{F_1}$ et $\overrightarrow{F_1}$, $F = F_1 = F_2$.

• Exemple :

  

  Un conducteur tourne un volant de voiture en appliquant deux forces, de norme $20 \, \text{N}$ chacune, sur les bords opposés du volant. La distance entre les points d'application des forces est $d=0,4 \, \text{m}$. Le moment du couple est :

  $\mathcal{C} = 20 \times 0,4 = 8 \, \text{N.m}$

V. Équilibre de Rotation (pour aller plus loin)

• Propriété (hors programme) :

  Un solide en rotation autour d'un axe est en équilibre si la somme des moments de toutes les forces appliquées à ce solide est nulle :

  $\displaystyle \sum_i \mathcal{M}_{\Delta}(\overrightarrow{F_i}) = 0$

• Remarque :

  $\circ\quad$ Si la somme des moments est positive, alors le solide tourne dans le sens trigonométrique.

  $\circ\quad$ Si la somme des moments est négative, alors le solide tourne dans le sens horaire.

VI. Exploitation graphique de la caractéristique mécanique d'un moteur

• La caractéristique mécanique d'un moteur représente la relation entre la vitesse de rotation $\omega$ (en $rad/s$ ou $tr/min$) et le moment du couple $\mathcal{C}$ (en $N·m$) que le moteur peut fournir.

• Pour déterminer le point de fonctionnement d'un ensemble moteur-charge en régime permanent, on exploite graphiquement la courbe caractéristique du moteur et la courbe de la charge : le point de fonctionnement correspond à l'intersection des deux courbes, où le moment du couple fourni par le moteur équilibre le moment résistant de la charge.