Aspects énergétiques des phénomènes mécaniques

• Après un bref rappel des notions d'énergie et de travail d'une force, cette fiche présentera les aspects énergétiques du mouvement, à savoir :

  $\circ\quad$ L'énergie cinétique et le théorème de l'énergie cinétique ;

  $\circ\quad$ Les forces conservatives et l'énergie potentielle ;

  $\circ\quad$ L'énergie mécanique et sa conservation dans certaines conditions ;

  $\circ\quad$ Les forces dissipatives et le théorème de l'énergie mécanique.

• $\textcolor{purple}{\text{REMARQUE IMPORTANTE}}$ : dans ces fiches, les systèmes sont assimilés à des points matériels de masse constante.

I. Rappels primordiaux à connaître

1. Notion d'énergie

• La notion d'énergie a déjà été abordée dans une fiche antérieure :

  $\circ\quad$ L'énergie est une grandeur physique qui exprime la capacité d'un système à produire des actions.

  $\circ\quad$ L'unité internationale d'énergie est le joule ($J$).

  $\circ\quad$ L'une des principales lois de la physique est que l'énergie d'un système isolé se conserve : il n'est pas possible de créer ni de détruire (ou de perdre) de l'énergie, il est seulement possible de la transférer ou de la transformer (dans le respect des lois de la physique).

  $\circ\quad$ Au sein d'un système isolé, des transferts d'énergie peuvent se produire (mais l'énergie totale du système reste constante).

  $\circ\quad$ Un système non isolé peut échanger de l'énergie avec l'extérieur. Par abus de langage on dira parfois qu'un système "perd" ou "produit" de l'énergie, mais il faut bien garder à l'esprit que l'énergie est seulement transférée d'un système à un autre.

  $\circ\quad$ L'énergie peut prendre plusieurs formes : énergie cinétique, énergie thermique, énergie nucléaire et bien d'autres encore. La forme de l'énergie peut changer dans certaines circonstances.

• Exemples :

  $\circ\quad$ Le corps humain échange de l'énergie thermique avec l'air ambiant.

  $\circ\quad$ À l'intérieur d'un calorimètre (considéré comme un système isolé), des échanges d'énergie peuvent avoir lieu entre les corps en présence, mais l'énergie totale du calorimètre et de son contenu reste constante.

  $\circ\quad$ Une voiture qui freine transforme de l'énergie cinétique en énergie thermique.

  $\circ\quad$ Lors d'une collision, l'énergie cinétique peut provoquer des dégâts en se transformant en énergie de déformation.

• Dans la suite de cette fiche nous allons revenir sur les diverses formes d'énergie liées au mouvement :

  $\circ\quad$ L'énergie cinétique (énergie de mouvement) ;

  $\circ\quad$ L'énergie potentielle (énergie de position) ;

  $\circ\quad$ L'énergie mécanique.

2. Travail d'une force

• La notion de travail d'une force est traitée dans la fiche suivante :

Travail d'une force

• Le travail mécanique est une forme d'énergie liée notamment à l'action des forces.

• Le travail peut se transformer en d'autres formes d'énergie, par exemple :

  $\circ\quad$ En énergie cinétique (lorsqu'on pousse un caddie) ;

  $\circ\quad$ En énergie potentielle (lorsqu'on monte des escaliers) ;

  $\circ\quad$ En énergie interne (lorsqu'on comprime un gaz).

3. Puissance moyenne

• Définition :

  La puissance moyenne $P$ est la quantité de travail effectuée par unité de temps. Elle est définie par :

  $\boxed{P = \dfrac{W}{\Delta t}}$

  où :

  $\circ\quad$ $P$ est la puissance en watts ($W$) ;

  $\circ\quad$ $W$ est le travail en joules ($J$) ;

  $\circ\quad$ $\Delta t$ est la durée en secondes ($s$).

• Exemple :

  Un moteur fournit un travail de 500 J en 2 secondes. Sa puissance moyenne est :

  $P = \dfrac{500 \, \text{J}}{2 \, \text{s}} = 250 \, \text{W}$

II. L'énergie cinétique

1. Notion d'énergie cinétique

• Définition :

  L'énergie cinétique est la forme d'énergie liée au mouvement d'un système : dans le cas d'un point matériel, elle est définie par la relation :

  $\boxed{E_c = \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v^2}$

  avec :

  $\circ\quad$ $E_c$ : énergie cinétique (en $J$) ;

  $\circ\quad$ $m$ : masse du point matériel (en $kg$) ;

  $\circ\quad$ $v$ : vitesse du point matériel (en $m.s^{-1}$).

• Remarques :

  $\circ\quad$ Un corps immobile n'a pas d'énergie cinétique ($E_c = 0$ si $v = 0$) ;

  $\circ\quad$ L'énergie cinétique (comme la vitesse) est relative au référentiel d'étude ;

  $\circ\quad$ L'énergie cinétique est un scalaire (un nombre) positif ou nul ;

  $\circ\quad$ La formule est aussi valable pour un solide de masse $m$ en translation à la vitesse $\vec{v}$ ;

  $\circ\quad$ Cette formule n'est valable que si la vitesse $v$ est négligeable devant celle de la lumière dans le vide ($c ≈ 300 000~km/s$), ce qui est le cas sauf lors de l'étude des particules relativistes ($v \gt 0,1~c$).

• Exemple :

  $\circ\quad$ Une balle de tennis peut être assimilée à un point matériel de $57~g$ environ.

  $\circ\quad$ Lors d'un service à $200~km/h$ ($\approx 56~m/s$), un champion communique à la balle une énergie cinétique valant :

  $E_{c~ _{balle}} = \dfrac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$

  $\Leftrightarrow E_{c~ _{balle}} = \dfrac{1}{2} \times 57 \cdot 10^{-3} \times 56^2$

  $\Leftrightarrow E_{c~ _{balle}} = 89 \;J$

2. Théorème de l'énergie cinétique

• Les lois du mouvement permettent de démontrer une relation très importante entre travail des forces et variation de l'énergie cinétique d'un système.

• Théorème de l'énergie cinétique :

  La variation d'énergie cinétique d'un point matériel entre les points $A$ et $B$, est égale à la somme des travaux de toutes les forces appliquées au mobile sur le trajet $\widehat{AB}$ :

  $\boxed{\Delta E_c = \dfrac{1}{2} \cdot \text{m} \cdot v_B^2-\dfrac{1}{2} \cdot \text{m} \cdot v_A^2 =\displaystyle \sum W_{AB} (\overrightarrow{F})}$

  avec :

  $\circ\quad$ $\Delta E_c$ : variation d'énergie cinétique (en $J$) ;

  $\circ\quad$ $m$ : masse du point matériel (en $kg$) ;

  $\circ\quad$ $v_A$ et $v_B$ : vitesse du point matériel en $A$ et en $B$ (en $m \cdot s^{-1}$) ;

  $\circ\quad$ $\displaystyle \sum W_{AB}(\overrightarrow{F})$ : somme des travaux des forces sur le trajet $\widehat{AB}$.

  Ce théorème n'est toutefois valable que si le référentiel d'étude est galiléen.

• Remarques :

  $\circ\quad$ Ce théorème montre que le travail des forces peut se transformer en énergie cinétique.

  $\circ\quad$ L'énergie cinétique ne dépend que de la valeur de la vitesse (= la norme du vecteur vitesse $\vec{v}$). Elle ne dépend pas de la direction ni du sens de la vitesse $\vec{v}$.

  $\circ\quad$ Ce théorème est plus simple que la loi fondamentale de la dynamique (2^e loi de Newton) : il sert à déterminer la (valeur de la) vitesse d'un système lorsque celui-ci est soumis à des forces connues.

  $\circ\quad$ Inversement, connaissant les vitesses en $A$ et en $B$ d'un système, on peut en déduire des informations sur les forces : ceci permet notamment d'évaluer les forces de frottement.

  $\circ\quad$ Le théorème peut être généralisé aux systèmes non ponctuels (les solides par exemple).

  $\circ\quad$ $A$ est appelé la position initiale, $B$ la position finale ; $v_A$ est parfois noté $v_i$ (pour vitesse initiale) et $v_B$ est parfois noté $v_f$ (pour vitesse finale).

3. Application : le caddie

A venir dans une fiche d'exercice

III. Forces conservatives et énergie potentielle

1. Définitions

• Force conservative :

  $\circ\quad$ Une force est conservative lorsque le travail effectué par cette force entre deux points $A$ et $B$ ne dépend pas du trajet suivi, mais uniquement de la position de $A$ et de $B$.

  $\circ\quad$ Dans le cas contraire, la force est dite non conservative.

• Remarques :

  $\circ\quad$ On en déduit que le travail d'une force conservative est nul si le système revient à sa position initiale ($B = A$).

  $\circ\quad$ Le terme "forces conservatives" vient du fait que de telles forces conservent (= ne modifient pas) l'énergie mécanique d'un système, comme nous allons le voir dans la suite.

• Énergie potentielle liée à une force conservative :

  $\circ\quad$ Une force conservative peut toujours être associée à une énergie potentielle, souvent notée $E_p$, qui est une forme d'énergie liée à la position relative des corps en interaction. On dit que la force dérive d'une énergie potentielle.

  $\circ\quad$ L'énergie potentielle est définie de façon à ce que le travail de la force conservative $\overrightarrow{F_c}$ entre les points $A$ et $B$, soit l'opposé de la variation d'énergie potentielle du système :

  $\boxed{W_{AB}(\overrightarrow{F_c}) = -\Delta E_{p} = E_{p}(A) - E_{p}(B)}$

• Remarque :l'intérêt de ces définitions apparaîtra plus clairement lorsque nous découvrirons l'énergie mécanique.

2. Les forces conservatives

• Parmi les forces conservatives, nous pouvons citer :

• Remarques :

  $\circ\quad$ En physique moderne, la notion d'énergie potentielle permet de modéliser un très grand nombre d'interactions, et généralise en quelque sorte la notion de force.

  $\circ\quad$ Toutes les forces ne sont pas conservatives : notamment les forces de frottement.

  $\circ\quad$ Si un système est soumis à plusieurs interactions (conservatives), il faut alors additionner les énergies potentielles correspondantes pour obtenir l'$E_p$ totale du système : par exemple une masse attachée au bout d'un ressort vertical est soumis à la pesanteur et à la force élastique du ressort et il faudra donc écrire :

  $E_{p_ ~\text{système}} = E_{pp} + E_{p _{ \text{ élastique}}}$

3. Application : le poids et l'énergie potentielle de pesanteur

• Tant que les déplacements se font dans une zone limitée à proximité de la surface terrestre, nous savons que le poids $\overrightarrow{P}$ d'un système est constant (si sa masse ne varie pas). Comme le travail d'une force constante ne dépend pas du chemin suivi, nous en déduisons que :

  $\boxed{\text{Le poids est une force conservative}}$

• Il est donc possible de lui associer une énergie potentielle dite de pesanteur, notée $E_{pp}$, et nous retrouvons un résultat déjà connu.

• Définition :

  L'énergie potentielle de pesanteur d'un point matériel $M$ au voisinage de la Terre est une énergie associée à l'altitude du point $M$ dans le champ de pesanteur. Elle est donnée par la relation :

  $\boxed{E_{pp}(M) = m \cdot g \cdot (z_M - z_0)}$

  avec :

  $\circ\quad$ $E_{pp}$ : énergie potentielle de pesanteur (en $J$) ;

  $\circ\quad$ $m$ : masse du point matériel (en $kg$) ;

  $\circ\quad$ $g$ : intensité de la pesanteur terrestre en $N \cdot kg^{-1}$ ;

  $\circ\quad$ $z_M$ : altitude du point M (en $m$) ;

  $\circ\quad$ $z_{0}$ : altitude de référence (en $m$) où l'énergie potentielle est nulle.

• $\textcolor{purple}{\text{ATTENTION}}$ :

  $\circ\quad$ Le choix des axes est arbitraire et ne change pas les résultats physiques ;

  $\circ\quad$ Dans toute cette fiche, l'axe vertical est l'axe $(Oz)$ orienté positivement VERS LE HAUT ;

  $\circ\quad$ Si l'axe vertical était orienté positivement VERS LE BAS, il faudrait alors écrire :

  $E_{pp}(M) = - m \cdot g \cdot (z_M - z_0)$

• Remarques :

  $\circ\quad$ L'$E_{pp}$ ne dépend que de l'altitude du point $M$ dans le champ de pesanteur : elle augmente avec l'altitude mais ne varie pas si le déplacement est horizontal ;

  $\circ\quad$ L'$E_{pp}$ est déterminée par rapport à un niveau de référence $z_0$, tel que $E_{pp}(z_0) = 0$. Ce niveau peut être choisi arbitrairement. On prend souvent $z_0 = 0$ pour simplifier, comme sur la figure ci-dessus : on dit alors que l'on prend le point $O$ comme origine de l'$E_{pp}$.

  $\circ\quad$ La valeur de l'énergie potentielle n'a donc pas de sens physique puisque le niveau $z_0$ est arbitraire : seule la variation d'$E_{pp}$ a une interprétation physique (cette remarque vaut pour toutes les énergies potentielles).

  $\circ\quad$ On peut enfin vérifier la relation entre la variation d'$E_{pp}$ et le travail du poids entre $A$ et $B$. En effet :

  $\Delta E_{pp} = E_{pp}(B) - E_{pp}(A)$

  $\Leftrightarrow \Delta E_{pp} = m \cdot g \cdot (z_B-z_0) - m \cdot g \cdot (z_A-z_0)$

  $\Leftrightarrow \Delta E_{pp} = m \cdot g \cdot (z_B-z_A)$

  et donc

  $\boxed{W_{AB}(\overrightarrow{P}) = m \cdot g \cdot (z_A-z_B) = -\Delta E_{pp}}$

IV. Énergie mécanique et systèmes conservatifs

1. Introduction

• Nous allons voir dans ce paragraphe tout l'intérêt des forces conservatives et de la notion d'énergie mécanique.

• Considérons un point matériel, de masse $m$, qui est soumis :

  $\circ\quad$ A une force conservative $\overrightarrow{F_c}$ dérivant de l'énergie potentielle $E_p$ ;

  $\circ\quad$ Et éventuellement à d'autres forces dont le travail est nul (par exemple la réaction normale du sol $\overrightarrow{R_N}$) ;

• Appliquons-lui le théorème de l'énergie cinétique entre deux points $A$ et $B$ de sa trajectoire :

  $\Delta E_c = \dfrac{1}{2}\text{m} \cdot v_B^2-\dfrac{1}{2}\text{m}v_A^2$

  $\Leftrightarrow \Delta E_c = \displaystyle \sum W_{AB} (\overrightarrow{F}) = W_{AB} (\overrightarrow{F_c}) + 0$

  $\Leftrightarrow \Delta E_c = E_{p}(A) - E_{p}(B)$

  ce que nous pouvons réécrire :

  $\dfrac{1}{2}\text{m} \cdot v_B^2-\dfrac{1}{2}\text{m} \cdot v_A^2 + E_{p}(B) - E_{p}(A) = 0$

  $\Leftrightarrow E_c(B) - E_c(A) + E_{p}(B) - E_{p}(A) = 0$

  $\Leftrightarrow \boxed{E_c(B) + E_{p}(B) = E_c(A) + E_{p}(A)}$

• Nous constatons que la somme de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle est la même en $A$ et en $B$, et donc en tout point de la trajectoire (puisque le calcul vaut pour n'importe quels points $A$ et $B$).

• Ceci nous amène à introduire une nouvelle notion : l'énergie mécanique.

2. L'énergie mécanique

• Définition :

  L'énergie mécanique $E_m$ d'un point matériel en $M$ désigne la somme de son énergie cinétique $E_c$ et de son énergie potentielle $E_p$ en $M$ :

  $\boxed{E_m(M) = E_c(M) + E_{p}(M)}$

• Remarque : l'expression de l'énergie potentielle $E_p$ dépend de la ou des interactions en jeu : la pesanteur, l'interaction électrostatique, etc.

3. Conservation de l'énergie mécanique

• Propriété :

  $\circ\quad$ L'énergie mécanique $E_m$ d'un point matériel soumis uniquement à une ou plusieurs forces conservatives est constante.

  $\circ\quad$ On dit que l'énergie mécanique du système se conserve ou encore que le système est conservatif.

  $\circ\quad$ Ce résultat reste valable si le point matériel subit aussi une ou plusieurs forces dont le travail est nul quel que soit le déplacement.

4. Exemples de systèmes conservatifs

• En général,

  $\circ\quad$ Si les frottements sont négligés (ou absents comme dans l'espace !)

  $\circ\quad$ Et si le système est abandonné à lui-même dans un champ de pesanteur (ou autre), c'est-à-dire que le système n'est ni poussé, ni tracté, ni propulsé (par un moteur par exemple), alors le système est conservatif.

• Exemples :

  $\circ\quad$ Un système en chute libre (= soumis seulement à son poids), car le poids est conservatif ;

  $\circ\quad$ Un système soumis uniquement à son poids et à la réaction normale du support (donc pas de frottement !), comme un objet qui dévale une pente ;

  $\circ\quad$ Le pendule simple (sans frottement), car la tension du fil est normale à la trajectoire et donc ne travaille pas ;

  $\circ\quad$ Une particule chargée en mouvement dans un champ électrostatique ;

  $\circ\quad$ Le Soleil et son cortège de planètes (avec une très bonne approximation).

• Dans un exercice, il faudra justifier que le système est conservatif en faisant le bilan des forces et en vérifiant que celles-ci sont conservatives (ou qu'elles ne travaillent pas).

5. Propriétés des systèmes conservatifs

• L'énergie mécanique d'un système conservatif est constante, elle caractérise le mouvement du système et se déduit souvent des conditions initiales du mouvement (vitesse et position initiales).

• L'énergie mécanique ne dépend que de la masse, de la vitesse et de la position : elle fournit donc une relation simple entre vitesse et position du point matériel, valable en tout point de la trajectoire.

• Les forces conservatives peuvent uniquement transformer l'énergie potentielle en énergie cinétique et vice versa : elles ne modifient pas l'énergie totale du système. En effet, nous avons la relation :

  $\Delta E_m = \Delta E_c + \Delta E_p = 0$

  $\Leftrightarrow \boxed{\Delta E_c = - \Delta E_p}$

  $\circ\quad$ Si un système est conservatif, l'$E_p$ et l'$E_c$ varient donc en sens inverse l'un de l'autre.

  $\circ\quad$ Ainsi au ski ou à vélo (sans pédalage !), si on remonte une pente, la vitesse diminue et inversement en descente la vitesse augmente, essentiellement du fait que la pesanteur provoque des transformations mutuelles d'$E_p$ et d'$E_c$ lorsque l'altitude du système varie.

V. Forces non conservatives et théorème de l'énergie mécanique

• Nous venons de voir que les forces conservatives permettaient de caractériser certains systèmes par leur énergie mécanique constante.

• Il reste à traiter le cas où un système subit des forces qui ne sont pas conservatives, grâce à un théorème important qui fait le lien entre forces non conservatives et variation de l'énergie mécanique d'un système.

1. Forces non conservatives / forces dissipatives

• Le travail des forces non conservatives entre deux points $A$ et $B$ dépend du chemin suivi par le système de $A$ à $B$. Il y a alors conversion du travail mécanique en une autre forme d'énergie.

• Font partie des forces non conservatives :

  $\circ\quad$ Les forces de frottement (solide ou fluide) : le travail est converti en chaleur ;

  $\circ\quad$ Les forces de viscosité : le travail est converti en turbulences dans le fluide extérieur puis en chaleur ;

  $\circ\quad$ Les forces de déformation lors d'un choc ;

  $\circ\quad$ Les forces de poussée, de traction, de propulsion ;

  $\circ\quad$ La tension d'un fil ou d'une corde ;

  $\circ\quad$ Les actions de liaison (réaction du support).

• Les forces dissipatives sont des forces non conservatives dont le travail est résistant (donc négatif) : nous allons voir qu'elles font diminuer l'énergie mécanique du système. Les forces de frottement sont toujours dissipatives.

2. Théorème de l'énergie mécanique

$\textcolor{purple}{\text{a. Énoncé du théorème}}$

• La variation d'énergie mécanique d'un point matériel entre les points $A$ et $B$, est égale à la somme des travaux des forces non conservatives appliquées au mobile sur le trajet $\widehat{AB}$ :

  $\boxed{\Delta E_m = \Delta E_c + \Delta E_p = \displaystyle \sum W_{AB} (\overrightarrow{F_{nc}})}$

  avec :

  $\circ\quad$ $\Delta E_m$ : variation d'énergie mécanique (en $J$) ;

  $\circ\quad$ $\Delta E_c$ : variation d'énergie cinétique (en $J$) ;

  $\circ\quad$ $\Delta E_p$ : variation d'énergie potentielle (en $J$) ;

  $\circ\quad$ $\sum W_{AB}(\overrightarrow{F_{nc}})$ : somme des travaux des forces non conservatives.

  Ce théorème n'est toutefois valable que si le référentiel d'étude est galiléen.

• $\textcolor{purple}{\text{ATTENTION}}$ : dans le terme de droite n'apparaît que la somme des travaux des forces NON conservatives. Il ne faut surtout pas ajouter le travail des forces conservatives (comme le poids) car ce travail est déjà pris en compte dans la variation d'énergie potentielle.

$\textcolor{purple}{\text{b. Démonstration du théorème}}$

• Ce théorème découle directement du théorème de l'énergie cinétique.

• Considérons un point matériel, de masse $m$, qui est soumis :

  $\circ\quad$ à une ou plusieurs forces conservatives $\overrightarrow{F_c}$

  $\circ\quad$ et à d'autres forces non conservatives $\overrightarrow{F_{nc}}$

• Appliquons-lui le théorème de l'énergie cinétique entre deux points $A$ et $B$ de sa trajectoire :

  $\Delta E_c = \displaystyle \sum W_{AB} (\overrightarrow{F})$

  $\Leftrightarrow E_c(B) - E_c(A)= \displaystyle \sum W_{AB} (\overrightarrow{F_c}) + \displaystyle \sum W_{AB} (\overrightarrow{F_{nc}})$

  $\Leftrightarrow E_c(B) - E_c(A)= E_{p}(A) - E_{p}(B) +\displaystyle \sum W_{AB} (\overrightarrow{F_{nc}})$

  car, par définition de l'énergie potentielle :

  $\sum W_{AB} (\overrightarrow{F_c}) = E_{p}(A) - E_{p}(B)$

  Nous en déduisons le résultat :

  $E_c(B) - E_c(A) + E_{p}(B) - E_{p}(A) =\displaystyle \sum W_{AB} (\overrightarrow{F_{nc}})$

  $\Leftrightarrow \Delta E_c + \Delta E_{p} = \displaystyle \sum W_{AB} (\overrightarrow{F_{nc}})$

  $\Leftrightarrow \boxed{\Delta E_m = \displaystyle \sum W_{AB} (\overrightarrow{F_{nc}})}$

3. Application : mouvement d'une luge avec / sans frottement

A venir dans une fiche d'exercices

VI. Le principe de conservation de l'énergie selon Richard Feynman

Extrait du cours de physique de Feynman (prix Nobel de physique), mécanique tome 1 :

« Imaginons un enfant, par exemple "Denis la terreur" qui possède des cubes absolument indestructibles, et qui ne peuvent pas être divisés en morceaux. Tous les cubes sont identiques. Supposons qu'il y ait 28 cubes. Sa mère le met dans sa chambre au début de la journée avec ses 28 cubes. À la fin de la journée, étant curieuse, elle compte les cubes avec attention et découvre une loi phénoménale - quoi qu'il fasse avec ses cubes, il en reste toujours 28 ! Ceci se répète plusieurs jours durant, jusqu'au jour où il n'y a que 27 cubes, mais un peu de recherche montre qu'il y en a un sous le tapis - elle doit regarder partout pour s'assurer que le nombre de cubes n'a pas changé. Un jour, cependant, le nombre semble changer : il n'y a que 26 cubes. Une recherche attentive montre que la fenêtre était ouverte, et en regardant dehors, elle retrouve les deux autres cubes. Un autre jour, un compte précis indiqua qu'il y en avait 30 ! Ceci la troubla au plus haut point, jusqu'au moment où elle réalisa que Bruce était passé, amenant ses cubes avec lui, et qu'il en avait laissé quelques-uns à la maison de Denis [...]

En conclusion, dans son cas, elle trouve une quantité qui doit être calculée, et qui reste toujours la même ».

_{= Merci à krinn / Skops pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche =}