Équation trigonométrique : sin(x)=sin(a)

icône de pdf
Signaler
Apprends à résoudre une équation trigonométrique de type sin(x) = valeur dans ℝ. Tu verras comment utiliser les identités du sinus et retrouver toutes les solutions en tenant compte de la périodicité. Mots-clés : équation sinus, trigonométrie, résoudre dans ℝ, sin U = sin V, valeur remarquable, cercle trigonométrique.

picture-in-text

sin⁡U=sin⁡V eˊquivaut aˋ dire U=V+k2π ou U=π−V+k′2π avec k et k′ dans Z \sin U = \sin V \text{ équivaut à dire } U=V+k2\pi \text{ ou } U=\pi -V+k'2\pi \text{ avec } k \text{ et } k' \text{ dans } \mathbf{Z}

Afin de mémoriser ce résultat, il est judicieux de comprendre et de visualiser sur la figure ce que signifie cette égalité de sinus.

Exemple :

Résolvons dans R\mathbb{R} l’équation :

sin⁡x=−32\sin x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}

On reconnaît que : sin⁡x=−sin⁡(π3)\sin x = -\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)

Donc :

x=−π3+2kπx = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi ou x=π+π3+2kπx = \pi + \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi, avec k∈Zk \in \mathbb{Z}.

Cela donne :

SR={−π3+2kπ  ;  −2π3+2k′π  ,k et k′∈Z}S_{\mathbb{R}} = \left\lbrace -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \; ; \; -\dfrac{2\pi}{3} + 2k'\pi \;,\quad k \text{ et } k' \in \mathbb{Z}\right\rbrace

Leçon précédente
Équation trigonométrique : cos(x)=cos(a)
Leçon suivante
Fonction cosinus