Dérivées des fonctions usuelles

Pour calculer des dérivées, on utilise des formules connues.

I. Dérivée des puissances

$\boxed{\text{Pour tout entier naturel }n\;\; : (x^n)'=nx^{n-1}}$

Exemple

$(x^3)'=3x^2$

II. Dérivée de $\lambda f$

Soit $\lambda$ un nombre réel et $f$ une fonction dérivable, alors : $\boxed{(\lambda f)'=\lambda f'}$

III. Dérivée d’un polynôme

Un polynôme se dérive terme à terme.

Exemple

$f(x)=2x^3-5x^2+4x$

$f'(x)=6x^2-10x+4$

IV. Dérivée de l’inverse

$\boxed{\text{Pour }x\neq 0\;,\;\left(\dfrac{1}{x}\right)'=-\dfrac{1}{x^2}}$

Remarque : moyen mnémotechnique

$\dfrac 1x=x^{-1}$ ; et $\left(\dfrac{1}{x}\right)'=-\dfrac{1}{x^2}=-x^{-2}$ .

Si on pose $n=-1$, on se rend compte que la formule de dérivation de $(x^n)$ peut donc être encore utilisée.

Exemple

$f(x)=\dfrac{2}{x}=2\times \dfrac 1x$

$f'(x)=2\times \left(-\dfrac{1}{x^2}\right)=\dfrac{-2}{x^2}$

V. Et en physique ?

Les polynômes sont souvent utilisés pour modéliser :

• des trajectoires

• des lois d’évolution approximatives.

Un exemple : la trajectoire d’un ballon

Lorsqu’un ballon est lancé en l’air, sa trajectoire peut souvent être approximée par une fonction polynomiale de degré 2.

On note $x$ la distance horizontale parcourue (en mètres) et $f(x)$ la hauteur du ballon (en mètres).

Un modèle simple de la trajectoire peut être :

$f(x)=-0,05x^2+0,8x+1$

Cette fonction est un polynôme du second degré.

Interprétation

• le terme $-0,05x^2$ traduit l’effet de la gravité qui fait redescendre le ballon

• le terme $0,8x$ correspond à l’impulsion initiale donnée au ballon

• le terme $1$ correspond à la hauteur de départ

Exemple de calcul

Pour $x=4$ :

$f(4)=-0,05\times16+0,8\times4+1$

$f(4)=-0,8+3,2+1$

$f(4)=3,4$

La hauteur du ballon est donc environ 3,4 m lorsque la distance horizontale parcourue est de 4 m.

Interprétation graphique

La courbe représentative de cette fonction est une parabole, ce qui correspond bien à la trajectoire observée pour un projectile.