Cardinalité et opérations

Légende de la leçon

Vert : définitions

I. Cardinalité : définition et concepts de base

La cardinalité est un concept fondamental en théorie des ensembles et en mathématiques qui désigne le nombre d'éléments d'un ensemble. Elle permet de comparer et de quantifier la taille d'ensembles différents.

1) Définition

Cardinalité d'un ensemble : le nombre d'éléments distincts dans cet ensemble. Notée $\vert A \vert$ pour un ensemble $A$.

2) Exemples

• Ensemble fini : pour un ensemble $A = {1, 2, 3}$, la cardinalité $\vert A \vert = 3$.
• Ensemble infini : l'ensemble des entiers naturels $N$ a une cardinalité infinie, notée $\vert N \vert = \infty$.

II. Cardinalité des ensembles infinis

Il existe différents types d'infini en mathématiques. La théorie des ensembles utilise la notion de bijection pour comparer les tailles d'ensembles infinis.

1) Bijection

Une bijection est une fonction qui est à la fois injective (chaque élément de l'ensemble de départ est mappé à un élément unique dans l'ensemble d'arrivée) et surjective (chaque élément de l'ensemble d'arrivée est l'image d'au moins un élément de l'ensemble de départ).

2) Exemples de cardinalité infinie

• Ensembles dénombrables : comme l'ensemble des entiers, qui peuvent être mis en bijection avec les entiers naturels.
• Ensembles non dénombrables : comme l'ensemble des nombres réels, qui ne peuvent pas être mis en bijection avec les entiers naturels.

III. Opérations et cardinalité

Les opérations sur les ensembles affectent leur cardinalité. Les plus courantes sont l'union, l'intersection, et la différence d'ensembles.

1) Union

• Définition : l'union de deux ensembles $A$ et $B$, notée $A \cup B$, est l'ensemble de tous les éléments qui appartiennent à $A$, à $B$, ou aux deux.
• Cardinalité : $\vert A \cup B\vert = \vert A \vert + \vert B \vert - \vert A \cap B\vert$.

2) Intersection

• Définition : l'intersection de deux ensembles $A$ et $B$, notée $A \cap B$, est l'ensemble de tous les éléments qui appartiennent à la fois à $A$ et à $B$.
• Cardinalité : $\vert A \cap B \vert$ est généralement moins que $\vert A \vert$ et $\vert B \vert$.

3) Différence

• Définition : la différence entre deux ensembles $A$ et $B$, notée $A \setminus B$, est l'ensemble des éléments qui appartiennent à $A$ mais pas à $B$.
• Cardinalité : $\vert A \setminus B \vert = \vert A \vert - \vert A \cap B \vert$.

Je retiens

La cardinalité mesure le nombre d'éléments dans un ensemble.

Les ensembles infinis peuvent être dénombrables ou non dénombrables, selon la possibilité d'établir une bijection avec les entiers naturels.