Multiplier un nombre entier par une fraction

I. Définitions

Une fraction est un nombre qui s’écrit de la manière suivante : $\dfrac{a}{b}$ avec a et b deux entiers et b non nul.

C’est le quotient de a par b, c'est-à-dire : $\dfrac{a}{b} = a \div b$.

Le quotient $\dfrac{a}{b}$ est donc le nombre qui multiplié par $b$ donne $a$.

Exemple :

231,3 = 231 + $\dfrac{3}{10} = \dfrac{2\,313}{10}$

234 = 234 ÷ 1 = $\dfrac{234}{1}$

Remarque : $\dfrac{2,34}{4}$ est une écriture fractionnaire, mais ce n’est pas une fraction.

Signification d’une fraction

$\dfrac{a}{b} \times b = a$

Ainsi on partage l'unité en b parties "égales" et on prend a parts.

Sur une droite graduée :

1) $\dfrac{a}{b}$ peut être approché par un nombre décimal.

Exemples : $\dfrac{7}{3} \times 3 = 7$ et $\dfrac{7}{3} \approx 2,333$

■■ Un nombre décimal a une écriture fractionnaire, mais une fraction n’est pas obligatoirement un nombre décimal.

Vocabulaire :

Lecture : $\dfrac{1}{2}$ se lit « un demi ».

Ainsi $\dfrac{5}{2}$ se lit « cinq demis ». $\dfrac{1}{3}$ se lit « un tiers ».

Ainsi $\dfrac{2}{3}$ se lit « deux tiers ». $\dfrac{1}{4}$ se lit « un quart ».

Ainsi $\dfrac{3}{4}$ se lit « trois quarts ».

Les autres nombres se lisent tous de la même manière : $\dfrac{6}{7}$ se lit « six septièmes ».

■■ $\dfrac{2,3}{5}$ se lit « deux virgule trois sur cinq ».

II. Opérations

1. Plusieurs écritures d’une même fraction :

Exemple :

Une fraction ne change pas si on multiplie son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.

Application : Simplifier une fraction c’est rendre le numérateur et le dénominateur les plus petits possibles.

2. Multiplier un nombre par une fraction :

Prendre les $\dfrac{3}{7}$ de 35, c’est multiplier 35 par $\dfrac{3}{7}$. $35 \xrightarrow{\times 3} 105 \xrightarrow{\div 7} 15$

soit $\dfrac{35 \times 3}{7}$ : $3 \xrightarrow{\times 35} 105 \xrightarrow{\div 7} 15$

soit $\dfrac{3 \times 35}{7}$ : $35 \xrightarrow{\div 7} 5 \xrightarrow{\times 3} 15$

soit $\dfrac{35}{7} \times 3$ : $35 \xrightarrow{\div 7} 5 \xrightarrow{\times 3} 15$