Annales - Épreuve Mathématiques fin de 1re : exemple 2

La calculatrice n'est pas autorisée.

Partie I : les automatismes (6 points)

Exercice 1

Partie II : les exercices (14 points)

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

Exercice 1

Détails des 5 premières réponses

1. Déterminons l'équation réduite de la droite (AB) sachant que cette droite passe par les points $A(2 ; 4)$ et $B(6 ; 16)$.
   L'équation réduite de la droite (AB) est de la forme : $y = ax + b$

Première méthode : par le coefficient directeur.
Calcul du coefficient directeur $a$.
$a=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{16-4}{6-2}=\dfrac{12}{4}\Longrightarrow\boxed{a=3}$
L'équation réduite de la droite $(AB)$ est donc de la forme : $y = 3x + b$

Calcul de l'ordonnée à l'origine $b$.
La droite $(AB)$ passe par le point $A(2 ; 4)$.
Dans l'équation de $(AB)$, nous pouvons remplacer $x$ par 2 et $y$ par 4.
$4 = 3 × 2 + b\iff 4 = 6 + b\iff b = -2$
Par conséquent, l'équation réduite de la droite (AB) est $\boxed{y=3x-2}$

Deuxième méthode : par l'appartenance des points A et B à la droite (AB).
L'équation réduite de la droite (AB) est de la forme : $y = ax + b$
Le point A(2 ; 4) appartient à la droite (AB). Dans l'équation de (AB), nous pouvons remplacer x par 2 et y par 4.
Le point B(6 ; 16) appartient à la droite (AB). Dans l'équation de (AB), nous pouvons remplacer x par 6 et y par 16.
Dès lors,
$\left\lbrace\begin{matrix}A(2\,;\,4)\in(AB)\\B(6\,;\,16)\in(AB)\end{matrix}\right.$ $\Longleftrightarrow$$\left\lbrace\begin{matrix}4=a\times2+b\\16=a\times6+b\end{matrix}\right.$

$\phantom{...WWWWWWWW..}\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix}2a+b=4\\6a+b=16\end{matrix}\right.$
$\phantom{....WWWWWWWW.} \Longleftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix}b=4-2a\\6a+b=16\end{matrix}\right.$
$\phantom{....WWWWWWWW.}\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix}b=4-2a \\6a+(4-2a)=16\end{matrix}\right.$
$\phantom{....WWWWWWWW.} \Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix}b=4-2a\\4a=12\end{matrix}\right.$
$\phantom{....WWWWWWWW.}\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix}b=4-2a\\a=3 \end{matrix}\right.$
$\phantom{....WWWWWWWW.}\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix}b=4-2\times3\\a=3\end{matrix}\right.$
$\phantom{....WWWWWWWW.}\Longleftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix}a=3\\b=-2\end{matrix}\right.$
$\Longrightarrow\boxed{(AB):y=3x-2}$

2. Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x)=2x^2-x+3$.
   L'ordonnée du point de $\mathscr{C}_f$ ayant pour abscisse -3 est $f(-3)$.
   $f(-3)=2\times(-3)^2-(-3)+3=2\times9+3+3=18+6$

$\Longrightarrow\boxed{f(-3)=24}$
Par conséquent, l'ordonnée du point de $\mathscr{C}_f$ ayant pour abscisse $-3$ est $24$.

3. $4(x+2)+(x+2)^2=4(x+2)+(x+2)(x+2)$

   $4(x+2)+(x+2)^2=(x+2)[4+(x+2)]$

   $4(x+2)+(x+2)^2=(x+2)(4+x+2)$

   $\Longrightarrow\boxed{4(x+2)+(x+2)^2=(x+2)(x+6)}$

4. Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par $g(x)=-3x+7$.
   L'antécédent de -11 par $g$ est la valeur de $x$ telle que $g(x) = -11$.
   $g(x)=-11\Longleftrightarrow-3x+7=-11\\\phantom{g(x)=-11}\Longleftrightarrow-3x=-11-7\\\phantom{g(x)=-11}\Longleftrightarrow-x=-18\\\phantom{g(x)=-11}\Longleftrightarrow x=\dfrac{-18}{-3}\\\phantom{g(x)=-11}\Longleftrightarrow \boxed{x=6}$
   Par conséquent, l'antécédent de $-11$ par $g$ est $6$.

5. Notons $p$ le prix initial du produit.
   Nous savons que $20\$
   L'énoncé se traduit alors par la relation : $p-0{,}2\times p=200$
   $p-0{,}2\times p=200\Longleftrightarrow(1-0{,}2)\times p=200\\\phantom{p-0,2\times p=200}\Longleftrightarrow0{,}8\times p=200\\\phantom{p-0,2\times p=200}\Longleftrightarrow p=\dfrac{200}{0{,}8}\\\phantom{p-0,2\times p=200}\Longleftrightarrow \boxed{p=250}$
   Par conséquent, le prix initial du produit est de 250 euros.

   Détails des réponses de 6 à 9

6. Première méthode :
   $\dfrac{10+10^3}{10}=\dfrac{10+1000}{10}=\dfrac{1010}{10}=101\Longrightarrow\boxed{\dfrac{10+10^3}{10}=101}$

   Seconde méthode (plus longue) :

   $\dfrac{10+10^3}{10}=\dfrac{10}{10}+\dfrac{10^3}{10}\\\phantom{\dfrac{10+10^3}{10}}=\dfrac{10}{10}+\dfrac{10^3}{10^1}\\\phantom{\dfrac{10+10^3}{10}}=1+10^{3-1}\\\phantom{\dfrac{10+10^3}{10}}=1+10^{2}\\\phantom{\dfrac{10+10^3}{10}}=1+100\\\phantom{\dfrac{10+10^3}{10}}=101\\\Longrightarrow\boxed{\dfrac{10+10^3}{10}=101}$

7. $x^2=25\Longleftrightarrow x^2-25=0\\\phantom{x^2=25}\Longleftrightarrow x^2-5^2=0\\\phantom{x^2=25}\Longleftrightarrow (x+5)(x-5)=0\\ [\textit{en appliquant la formule : }a^2-b^2=(a+b)(a-b)\textit{ où }a=x\textit{ et }b=5]\\\phantom{x^2=25}\Longleftrightarrow x+5=0\ \ \text{ou}\ \ \ x-5=0\\\phantom{x^2=25}\Longleftrightarrow \boxed{x=-5\ \ \text{ou}\ \ \ x=5}$

8. $I=\dfrac{m}{t^2}\Longleftrightarrow t^2\times I=m\\\phantom{ I=\dfrac{m}{t^2}}\Longleftrightarrow t^2=\dfrac{m}{I}\\\phantom{ I=\dfrac{m}{t^2}}\Longleftrightarrow \boxed{t=\sqrt{\dfrac{m}{I}}}\ \ \ \ \ \ (\textit{car }t>0)$

9. Compléter le tableau de signe de l'expression $(x - 1)(x + 3)$.

   $\begin{matrix}x-1<0\Longleftrightarrow x<1\\x-1=0\Longleftrightarrow x=1\\x-1>0\Longleftrightarrow x>1\\\\x+3<0\Longleftrightarrow x<-3\\x+3=0\Longleftrightarrow x=-3\\x+3>0\Longleftrightarrow x>-3\end{matrix}$
   
   $\begin{matrix}\dfrac{}{} \ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|ccccccc|} \hline &&&&&&&\\ x&-\infty&&-3&&1&&+\infty\\ &&&&&&& \\ \hline x-1&&-&-&-&0&+&\\ x+3&&-&0&+&+&+&\\ &&&&&&&\\ \hline (x-1)(x+3)&&+&0&-&0&+&\\ &&&&&&&\\ \hline \end{array} \end{matrix}$

Exercice 2

Soit $f$ une fonction polynôme du second degré, définie sur $\R$ et représentée par la parabole $\mathscr{P}$ ci-dessous.

$1.a.$ L'image de 0 par $f$, exprimée par $f(0)$, est l'ordonnée du point d'intersection entre la parabole $\mathscr{P}$ et l'axe des ordonnées.
Par lecture graphique, nous observons que cette ordonnée est égale à -4.
Par conséquent, l'image de 0 par $f$ est égale à -4, soit $f(0) = -4$.

$1.b.$ Les racines de la fonction $f$ sont les abscisses des points d'intersection entre la parabole $\mathscr{P}$ et l'axe des abscisses.
Par lecture graphique, nous observons que ces abscisses sont égales à -1 et 2.
Par conséquent, les racines de la fonction $f$ sont -1 et 2.

$1.c.$ Les solutions de l'équation $f(x) = 1$ sont les abscisses des points d'intersection entre la parabole $\mathscr{P}$ et la droite d’équation : $y = 1$.
Par lecture graphique, nous observons que la droite d'équation $y = 1$ coupe la parabole $\mathscr{P}$ en deux points B et C.
Par conséquent, l’équation $f(x) = 1$ possède deux solutions.

$2.$ Si une fonction polynôme du second degré $f$ admet deux racines $x_1$ et $x_2$, alors l'expression $f(x)$ est de la forme :
$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$ où $a$ est un nombre réel.
Nous avons montré dans la question 1.b. que les racines de la fonction $f$ sont -1 et 2.
Dès lors, l'expression $f(x)$ est de la forme : $f(x) = a(x + 1)(x - 2)$
De plus, nous avons montré dans la question 1.a. que $f(0) = -4$.
$\text{D'où }\ a(0+1)(0-2)=-4\Longleftrightarrow-2a=-4\\\phantom{\text{D'où }\ a(0+1)(0-2)=-4}\Longleftrightarrow a=\dfrac{-4}{-2}\\\phantom{\text{D'où }\ a(0+1)(0-2)=-4}\Longleftrightarrow \boxed{a=2}$
Par conséquent, $f(x)$ peut s’écrire $f(x) = 2(x + 1)(x - 2)$.

$3.$ L'instruction balayage(0.0001) renvoie le résultat (2.1583, 2.1584).
Ce résultat signifie que la solution de l'équation $f(x) = 1$ dans l'intervalle [2 ; 3] appartient plus précisément à l'intervalle $[2{,}1583\, ; 2{,}1584]$ dont l'amplitude est $0{,}0001$.

Exercice 3

On veut construire une cuve métallique sans couvercle, à partir d'une plaque carrée de 3 mètres de côté.
À chaque coin de la plaque métallique, on découpe un carré de côté $x$ mètres, où $x$ est un nombre réel appartenant à l'intervalle [0 ; 1{,}5]. En pliant et en soudant, on obtient une cuve sans couvercle de volume $V(x)$ exprimé en m³.

1. a. L’aire d’un carré se calcule par la formule : côté × côté.
   Or la mesure du côté $AD = 3 - x - x$, soit 3 - 2$x$.
   Donc l’aire du carré $ABCD = (3 - 2x)^2$.

   b. La cuve obtenue après découpage, pliage, soudage est un pavé droit (parallélépipède rectangle).
   Le volume d’un pavé droit est donné par la formule : aire de la base × hauteur du pavé.
   L’aire de la base de la cuve est égale à $(3 - 2x)^2$ et la hauteur est égale à $x$.
   Donc le volume de la cuve peut s’écrire sous la forme :

$V(x)=(3-2x)^2\times x\\\phantom{V(x)}=(9 - 12x + 4x^2)\times x\\\phantom{V(x)}=9x - 12x^2 + 4x^3\\\Longrightarrow\boxed{V(x)=4x^3-12x^2+9x}$

2. a. Déterminons l'expression de $V'(x)$ :

$V'(x)=(4x^3)'-(12x^2)'+(9x)'\\\phantom{V'(x)}=4\times3x^2-12\times2x+9\\\phantom{V'(x)}=12x^2-24x+9\\\Longrightarrow\boxed{V'(x)=12x^2-24x+9}$

$V'(0{,}5)=12\times0{,}5^2-24\times0{,}5+9=0\\\Longrightarrow\boxed{V'(0{,}5)=0}$

$V'(1{,}5)=12\times1{,}5^2-24\times1{,}5+9=0\\\Longrightarrow\boxed{V'(1{,}5)=0}$

2. b. Étudions le signe de $V'(x)$.
   $V'(x)$ est un polynôme du second degré dont les racines sont $0{,}5$ et $1{,}5$.
   Le signe de $V'(x)$ est celui du coefficient de $x^2$ (positif) à l’extérieur des racines et est négatif entre les racines.
   D'où le tableau de signes de $V'(x)$ et les variations de $V$ sur l'intervalle [0 ; 1{,}5].

$\underline{\text{Calculs préliminaires}}\\V(0)=0\\V(0{,}5)=2\\V(1{,}5)=0$

$\begin{matrix}\dfrac{}{} \ \ \ \ \ \ \begin{array}{|c|cccccc|} \hline &&&&&&\\ x&0&&0,5&&1,5&\\ &&&&&& \\ \hline \\ &&&&&& \\ V'(x)&&+&0&-&0&\\ &&&&&& \\ \hline &&&2&&& \\ V(x)&&\huge\nearrow&&\huge\searrow&&\\ &0&&&&0&\\ \hline \end{array} \end{matrix}$

Par conséquent, la fonction $V$ est croissante sur l’intervalle $[0 ; 0{,}5]$, décroissante sur l’intervalle $[0{,}5 ; 1{,}5]$

2. c. Les variations de la fonction $V$ étudiées dans la question précédente nous permettent de conclure que le volume de la cuve est maximal pour $x = 0{,}5$

Exercice 4

Un centre de vacances accueille 200 adolescents : parmi eux, 35 % ont choisi l’activité kayak, 25 % l’escalade et les autres l’équitation.
Les filles représentent 30 % des personnes ayant choisi le kayak, 40 % l’escalade et 70 % l’équitation.

1. Tableau des effectifs.

Nombre d’adolescents ayant choisi le kayak : $0{,}35 × 200 = 70$
Nombre d’adolescents ayant choisi l’escalade : $0{,}25 × 200 = 50$
Nombre d’adolescents ayant choisi l’équitation : $200 - (70 + 50) = 80$
Nombre de filles ayant choisi le kayak : $0{,}3 × 70 = 21$
Nombre de filles ayant choisi l’escalade : $0{,}4 × 50 = 20$
Nombre de filles ayant choisi l’équitation : $0{,}7 × 80 = 56$
Nombre total de filles : $21 + 20 + 56 = 97$
Nombre de garçons ayant choisi le kayak : $70 - 21 = 49$
Nombre de garçons ayant choisi l’escalade : $50 - 20 = 30$
Nombre de garçons ayant choisi l’équitation : $80 - 56 = 24$
Nombre total de garçons : $49 + 30 + 24 = 103$

2. Parmi les 97 filles, 21 ont choisi le kayak.
   Parmi les filles, la fréquence de celles qui ont choisi le kayak est $\dfrac{21}{97} \approx 0{,}216$, soit environ $21{,}6 \%$.

3. a. Parmi les 200 adolescents, 24 garçons ont choisi l’équitation.
   La probabilité que la personne sélectionnée soit un garçon ayant choisi l’équitation est $\dfrac{24}{200} = 0{,}12$.

4. b. Parmi les 97 filles, 56 ont choisi l’équitation.
   Sachant que la personne sélectionnée est une fille, la probabilité qu’elle ait choisi l’équitation est égale à $\dfrac{56}{97}$.

5. Une augmentation annuelle de 7 % correspond à un coefficient multiplicateur de $1 + \dfrac{7}{100} = 1{,}07$
   Actuellement, le nombre d’adolescents est de 236.
   Après 5 années, le centre de vacances pourra accueillir $1{,}07^5 \times 236 \approx 331$ adolescents.