Vecteurs coplanaires

Exercice 1

$\checkmark$ $\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{AB}$ donc ces vecteurs sont coplanaires. Or $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{HF}$ sont coplanaires, donc les vecteurs $\overrightarrow{CB}$, $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{HF}$ sont coplanaires.

$\checkmark$ $\overrightarrow{HF}=\overrightarrow{HE}+\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{IJ}$.

Les vecteurs $\overrightarrow{CB}$, $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{HF}$ sont donc coplanaires.

Exercice 2

Données : $A(3,1,-2)$, $B(0,4,-2)$, $C(5,0,4)$, $D(2,3,4)$.

Calculs utiles :

$\overrightarrow{AB}=(0-3,4-1,-2-(-2))=(-3,3,0)$,

$\overrightarrow{AD}=(2-3,3-1,4-(-2))=(-1,2,6)$,

$\overrightarrow{CD}=(2-5,3-0,4-4)=(-3,3,0)$.

1. Alignement de $A,B,D$ : on teste la colinéarité de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$. Il faudrait un $\lambda$ tel que $(-1,2,6)=\lambda(-3,3,0)$.

   On a $\dfrac{-1}{-3}=\dfrac{1}{3}$, mais $\dfrac{2}{3}\neq\dfrac{1}{3}$ et la troisième coordonnée imposerait $6=0$, impossible. Donc $A,B,D$ ne sont pas alignés.

2. Comparaison de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ : on lit $\overrightarrow{AB}=(-3,3,0)$ et $\overrightarrow{CD}=(-3,3,0)$, donc $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}$.

3. Alignement de $A,B,C,D$ : si quatre points étaient alignés, tout triplet le serait.

   Or $A,B,D$ ne le sont pas, donc $A,B,C,D$ ne sont pas alignés.

   Vérification supplémentaire possible : $\overrightarrow{AC}=(5-3,0-1,4-(-2))=(2,-1,6)$ n’est pas colinéaire à $\overrightarrow{AB}=(-3,3,0)$,

   donc $C$ n’est pas sur la droite $(AB)$.