Coordonnées d'un vecteur dans l'espace

Exercice 1

On place un repère orthonormé tel que $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $C(1;1;0)$, $D(0;1;0)$, $E(0;0;1)$, $F(1;0;1)$, $G(1;1;1)$, $H(0;1;1)$.

Le centre $I$ de la face ABCD est $I\left(\tfrac{1}{2};\tfrac{1}{2};0\right)$ et le centre $J$ de la face BCGF est $J\left(1;\tfrac{1}{2};\tfrac{1}{2}\right)$.

Alors $\overrightarrow{AF}=(1,0,1)$ et $\overrightarrow{JI}=\left(-\tfrac{1}{2},0,-\tfrac{1}{2}\right)=-\tfrac{1}{2}(1,0,1)$.

Donc $\overrightarrow{JI}=-\tfrac{1}{2}\,\overrightarrow{AF}$ : les vecteurs sont colinéaires (même direction, sens opposé).

Exercice 2

$\overrightarrow{AB}(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A)$ ;

$\overrightarrow{AB}(3-2,1+3,-2-5)$ ;

$\overrightarrow{AB}(1,4,-7)$

2. $\overrightarrow{BA}(-1,-4,7)$ et $5\overrightarrow{BA}(-5,-20,35)$.

Exercice 3

$A(-4,2,-3)$ et $\overrightarrow{AB}(2,1,5)$ donc :

$\left\lbrace \begin{matrix} x_B-x_A=2 \\ y_B-y_A=1 \\ z_B-z_A=5 \end{matrix}\right.$ C'est à dire : $\left\lbrace \begin{matrix} x_B=x_A+2 \\ y_B=y_A+1 \\ z_B=z_A+5 \end{matrix}\right.$

Calculons : $\left\lbrace \begin{matrix} x_B=-4+2 \\ y_B=2+1 \\ z_B=-3+5 \end{matrix}\right.$ $\left\lbrace \begin{matrix} x_B=-2 \\ y_B=3 \\ z_B=2 \end{matrix}\right.$

donc $B(-2,3,2)$.