Équation paramétrique d’une droite et appartenance d’un point

Exercice 1

1. FAUX
   Regardons si le point $C$ appartient à la droite $\Delta$ dont une représentation paramétrique est
   $\left\lbrace\begin{matrix}x&=&-1+2t\\y&=&-1+t\\z&=&1-t\end{matrix}\right.\,;t\in\mathbb{R}.$

On obtient le système :
$\left\lbrace\begin{matrix}x_C&=&3=-1+2t\\y_C&=&1=-1+t\\z_C&=&-3=1-t\end{matrix}\right.\;\Longleftrightarrow \;\left\lbrace\begin{matrix}t&=&2\\t&=&2\\t=4\end{matrix}\right.$

Le système n’a donc pas de solution, donc le point $C$ n’appartient pas à la droite $\Delta$.
Ainsi, $\Delta$ n’est pas une représentation paramétrique de la droite $(CD)$.

2. VRAI
   On a $\overrightarrow{AB}(-2;0;-4)$ et $\overrightarrow{AI}\left(\dfrac{-7}{5};0;\dfrac{-14}{5}\right)$.

On remarque que $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AI}$ avec $k=\dfrac{7}{10}$.

Donc les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AI}$ sont colinéaires, ce qui prouve que le point $I$ est sur la droite $(AB)$.

Exercice 2

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$, on considère les points :
$A(3;1;-5)$, $B(0;4;-5)$, et $D(2;3;4)$.

1. Faux
$\overrightarrow{AB}(-3;3;0)$ et $\overrightarrow{AD}(-1;2;9)$.
Les coordonnées des deux vecteurs ne sont pas proportionnelles, donc il n’existe pas de réel $k$ vérifiant $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AD}$.
Les points $A$, $B$, $D$ ne sont donc pas alignés.

Une représentation paramétrique de la droite $(BD)$ est :
$\left\lbrace\begin{matrix}x&=&1-2k\\y&=&\dfrac{7}{2}+k\\z&=&-\dfrac{1}{2}-9k\end{matrix}\right.\,;k\in\mathbb{R}$

2. Vrai
Pour $k=\dfrac{1}{2}$, on obtient les coordonnées du point $B$ et pour $k=-\dfrac{1}{2}$ on obtient celles du point $D$.
La représentation paramétrique proposée est donc correcte.

Exercice 3

L’espace est rapporté au repère orthonormé $(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})$.
On considère les points : $A(2;1;-1)$, $B(-1;2;4)$ et $C(0;-2;3)$.

1. VRAI : Les points A, B et C définissent un plan.
Trois points distincts de l’espace définissent toujours un plan, sauf s’ils sont alignés. Pour vérifier cela, on regarde si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

On calcule :
$\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-1-2\\2-1\\4-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3\\1\\5\end{pmatrix}$
$\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}0-2\\-2-1\\3-(-1)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2\\-3\\4\end{pmatrix}$

Si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ étaient colinéaires, il existerait un réel $k$ tel que :
$\begin{pmatrix}-3\\1\\5\end{pmatrix}=k\begin{pmatrix}-2\\-3\\4\end{pmatrix}$.

Comparons les coordonnées :

• Avec la première : $-3=-2k;\Rightarrow;k=\dfrac{3}{2}$.

• Avec la deuxième : $1=-3k;\Rightarrow;k=-\dfrac{1}{3}$.

On obtient deux valeurs de $k$ différentes : la colinéarité est donc impossible.

Ainsi, $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires. Les points $A$, $B$ et $C$ définissent bien un plan.

2. Soit $\left\lbrace\begin{matrix}x&=&2k\\y&=&2+3k\\z&=&3-4k\end{matrix}\right.\,;k\in\mathbb{R}$

FAUX : Il ne s’agit pas d’une écriture paramétrique correcte de la droite $(AC)$.

Vérifions avec le point $C(0;-2;3)$.

Si $C$ appartenait à cette droite, il existerait un réel $k$ tel que :
$\left\lbrace\begin{matrix}0&=&2k\\-2&=&2+3k\\3&=&3-4k\end{matrix}\right.$

De la première équation, $k=0$. Alors $y=2$ (au lieu de $-2$) et $z=3$ (ce qui est correct). Comme la deuxième équation n’est pas vérifiée, $C$ n’appartient pas à la droite proposée.

Donc l’écriture donnée n’est pas celle de la droite $(AC)$.

La véritable équation paramétrique de $(AC)$ est :
$\left\lbrace\begin{matrix}x&=&2-2k\\y&=&1-3k\\z&=&-1+4k\end{matrix}\right.\,;k\in\mathbb{R}$

ou, de manière équivalente (avec un autre paramètre) :
$\left\lbrace\begin{matrix}x&=&2k\\y&=&-2+3k\\z&=&3-4k\end{matrix}\right.\,;k\in\mathbb{R}$.

Dans ces écritures, on vérifie bien que $A$ et $C$ appartiennent à la droite.