Valeur absolue et distance entre deux réels

Exercice 1

$|x| \le 6 \Longleftrightarrow -6\le x\le6$
Les entiers relatifs recherchés sont tous ceux de l'intervalle $[-6;6]$, c'est à dire -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 et 6.
👉 Une inégalité avec une valeur absolue se transforme toujours en un encadrement.

Exercice 2

$|x-2|\le3 \Longleftrightarrow -3 \le x-2 \le 3 \Longleftrightarrow -1 \le x \le 5$, ainsi on a encadré $x$. L'intervalle est $[-1,5]$.
$|x-2|\le3 \Longleftrightarrow d(x,2)\le3$.
👉 $|x-a|\le r$ correspond toujours à une distance $d(x,a)\le r$.

$d(x,1)\le2 \Longleftrightarrow |x+1|\le2 \Longleftrightarrow -2\le x+1\le2 \Longleftrightarrow -3\le x\le1$. L'intervalle est $[-3;1]$.
👉 Attention au signe à l’intérieur de la valeur absolue.

$|3-x|\le4 \Longleftrightarrow -4\le3-x\le4 \Longleftrightarrow -7\le-x\le1 \Longleftrightarrow -1\le x\le7$. L'intervalle est $[-1;7]$.
$|3-x|\le4 \Longleftrightarrow d(3,x)\le4$.
👉 $|a-x|$ et $|x-a|$ donnent le même encadrement.

$d(x,4)\le0,5 \Longleftrightarrow |x-4|\le0,5 \Longleftrightarrow -0.5\le x-4\le0.5 \Longleftrightarrow 3,5\le x\le4,5$. L'intervalle est $[3,5;4,5]$.
👉 Le rayon correspond à la moitié de la longueur de l’intervalle.

$-5\le x\le-3$. L'intervalle correspondant est $[-5;-3]$.
En terme de valeur absolue on a $|x+4|\le1$ et en distance on a $d(x;-4)\le1$.
👉 Le centre de l’intervalle est le milieu des bornes.

$-3\le2x\le3 \Longleftrightarrow -\dfrac{3}{2}\le x\le\dfrac{3}{2}$. En valeur absolue on a $|x|\le\dfrac{3}{2}$.
En terme de distance on aura $d(x,0)\le\dfrac{3}{2}$.
👉 Ne pas oublier de diviser toute l’inégalité par le même nombre.

$x\in]5;6[$, c'est un intervalle. Encadrement : $5<x\le6$.
En valeur absolue on a $|x-\frac{11}{2}|<\frac{1}{2}$. En distance on a $d(x,\frac{11}{2})<\frac{1}{2}$.
👉 Le centre est toujours la moyenne des bornes.

Exercice 3

a) $10,1 \le x-8 \le 10,2 \Longleftrightarrow 18.1\le x\le18.2$
👉 On ajoute la même valeur aux trois membres.

b) $|x-3| \le 2,5 \Longleftrightarrow -2,5\le x-3\le2,5 \Longleftrightarrow 0,5\le x\le5,5$
👉 Valeur absolue $\rightarrow$ encadrement.

c) $-0,02 < -x-3 < -0,001 \Longleftrightarrow 2,98 < -x < 2,999 \Longleftrightarrow -2,999 < x < -2,98$
👉 Attention au changement de sens quand on multiplie par $-1$.

d) $|7-x| < 2 \times 10^{-3} \Longleftrightarrow -0,002 < 7-x < 0,002 \Longleftrightarrow 6,998 < x < 7,002$
👉 Les puissances de 10 servent à exprimer des encadrements très fins.

e) $|x+8| < \dfrac{1}{2} \Longleftrightarrow -\dfrac{17}{2} < x < -\dfrac{15}{2}$
👉 Le centre est $-8$ et le rayon est $\dfrac{1}{2}$.

f) $d(x,5) \le 10^{-2} \Longleftrightarrow 4,99 \le x \le 5,01$
👉 Une distance se traduit toujours par un intervalle centré.