Valeur absolue et distance entre deux réels

I. Notion de valeur absolue

La valeur absolue d’un nombre $a$ est sa distance à 0 sur la droite réelle.
Elle est notée $|a|$.

• Si $a \geq 0$, alors $|a| = a$

• Si $a < 0$, alors $|a| = -a$

Exemples :

$|5| = 5$
$|-3| = 3$

II. Distance entre deux réels

La distance entre deux réels $a$ et $b$ est notée $|a - b|$.

Exemples :

• Distance entre $a=3$ et $b=-2$ :

  

  $|3 - (-2)| = |5| = 5$

• Distance entre $a=1{,}7$ et $b=4$ :

  

  $|1{,}7 - 4| = |-2{,}3| = 2{,}3$

III. Intervalles centrés

Un intervalle de la forme $|x - a| \leq r$ représente tous les réels x situés à une distance au plus r d’un réel a.

Cela correspond à l’intervalle $[a - r ; a + r]$

Exemples :

• $|x - 2| \leq 3$ équivaut à $x \in [-1 ; 5]$

  

• $|x| \leq 2$ peut s'écrire $|x-0|\leq 2$ ce qui équivaut à $x \in [-2 ; 2]$

  

• $|x+3|<4$ peut s'écrire $|x-(-3)|<4$.

On va donc cette fois considérer $-3$ pour le centre de l'intervalle.

$|-x+3|<4$ équivaut à $x\in ]-7\,;\,+1[$.