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Exercice 1

Un jeu consiste à lancer des fléchettes sur une cible. La cible est partagée en quatre secteurs, comme indiqué sur la figure ci-dessous.

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On suppose que les lancers sont indépendants et que le joueur touche la cible à tous les coups.

Le joueur lance une fléchette.
On note $p_0$ la probabilité d'obtenir 0 point.
On note $p_3$ la probabilité d'obtenir 3 points.
On note $p_5$ la probabilité d'obtenir 5 points.
On a donc $p_0+p_3+p_5 = 1$ .

Sachant que $p_5 = \dfrac{1}{2} p_3$ et que $p_5 = \dfrac{1}{3} p_0$ , déterminer les valeurs de $p_0, p_3, p_5$ .

Une partie de ce jeu consiste à lancer trois fléchettes au maximum.
Le joueur gagne la partie s'il obtient un total (pour les 3 lancers) supérieur ou égal à 8 points.
Si au bout de 2 lancers, il a un total supérieur ou égal à 8 points, il ne lance pas la troisième fléchette.

On note $G_2$ l'événement : « le joueur gagne la partie en 2 lancers ».
On note $G_3$ l'événement : « le joueur gagne la partie en 3 lancers ».
On note $P$ l'événement : « le joueur perd la partie ».
On note $p(A)$ la probabilité d'un événement $A$ .

a) Montrer, en utilisant un arbre pondéré, que $p(G_2) = \dfrac{5}{36}$ . On admettra dans la suite que $p(G_3) = \dfrac{7}{36}$ .
b) En déduire $p(P)$ .

Un joueur joue six parties avec les règles données à la question 2. Quelle est la probabilité qu'il gagne au moins une partie ?
Pour une partie, la mise est fixée à 2 euros.
Si le joueur gagne en deux lancers, il reçoit 5 euros. S'il gagne en trois lancers, il reçoit 3 euros. S'il perd, il ne reçoit rien.
On note $X$ la variable aléatoire correspondant au gain algébrique du joueur pour une partie. Les valeurs possibles pour $X$ sont donc : $-2, 1$ et $3$ .

a) Donner la loi de probabilité de $X$ .
b) Déterminer l'espérance mathématique de $X$ . Le jeu est-il favorable au joueur ?

Exercice 2

On rappelle que la probabilité d'un événement $A$ sachant que l'événement $B$ est réalisé se note $p_B(A)$ .

Une urne contient au départ 30 boules blanches et 10 boules noires indiscernables au toucher.

On tire au hasard une boule de l'urne :

si la boule tirée est blanche, on la remet dans l'urne et on ajoute $n$ boules blanches supplémentaires.
si la boule tirée est noire, on la remet dans l'urne et on ajoute $n$ boules noires supplémentaires.

On tire ensuite au hasard une seconde boule de l'urne.

On note :
$B_{1}$ l'événement : « on obtient une boule blanche au premier tirage »
$B_{2}$ l'événement : « on obtient une boule blanche au second tirage »
$A$ l'événement : « les deux boules tirées sont de couleurs différentes ».

Dans cette question, on prend $n = 10$ .
a) Calculer la probabilité $p(B_{1} \cap B_{2})$ et montrer que $p(B_{2}) = \dfrac{3}{4}$ .
b) Calculer $p_{B_{2}}(B_{1})$ .
c) Montrer que $p(A) = \dfrac{3}{10}$ .
On prend toujours $n = 10$ .
Huit joueurs réalisent l'épreuve décrite précédemment de manière identique et indépendante.
On appelle $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de réalisations de l'événement $A$ .

a) Déterminer $p(X = 3)$ . (On donnera la réponse à $10^{-2}$ près).
b) Déterminer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ .

Dans cette question $n$ est un entier supérieur ou égal à 1. Existe-t-il une valeur de $n$ pour laquelle $p(A) = \dfrac{1}{4}$ ?

Révéler le corrigé

Exercice 1

D'après l'énoncé, $p_3 = 2\ p_5$ et $p_0 = 3\ p_5$ .
L'égalité $p_0+p_3+p_5=1$ se réécrit donc : $3p_5+2p_5+p_5=6p_5=1$ , d'où on tire $p_5=\dfrac{1}{6}$ , puis $p_3=\dfrac{1}{3}$ et $p_0=\dfrac{1}{2}$ .
a) L'arbre pondéré ci-dessous modélise le lancer de deux fléchettes, et met en évidence les possibilités de réalisation de l'événement $G2$

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L'événement $G2$ est réalisé lorsque le joueur totalise au moins $8$ points en $2$ lancers.
donc $G_2 = (5\cap{5}) \cup{}(5\cap{3}) \cup{} (3\cap{5})$
On obtient : $p(G_2)=\dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}\times \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\times\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{36}+\dfrac{2}{36}+\dfrac{2}{36}=\dfrac{5}{36}$ .

b) Soit $G$ l'événement "Le joueur gagne". $G$ est la réunion des événements disjoints $G2$ et $G3$ (le joueur ne peut pas gagner en un seul lancer).
On en déduit que $p(G)=p(G_2)+p(G_3)=\dfrac{5}{36}+\dfrac{7}{36}=\dfrac{12}{36}=\dfrac{1}{3}$ .
$P$ est l'événement contraire de $G$ , donc $p(P)=1-p(G)=\dfrac{2}{3}$ .
Chaque partie décrit une épreuve de Bernoulli,

le "succès" : la partie est gagnée, de probabilité $p = 1/3$
l' "échec" : la partie est perdue, de probabilité $q = 2/3$ .
Il y a répétition de $6$ expériences identiques et indépendantes.
La variable aléatoire $Y$ égale au nombre de parties gagnées suit une loi binomiale de paramètres $6$ et $1/3$ .

La probabilité qu'il gagne au moins une partie parmi les $6$ est
$p(Y \geq 1) = 1 - p(Y =0) = 1 - \binom{6}{0}\ \left(\dfrac{1}{3}\right)^0\ \left(\dfrac{2}{3}\right)^{6-0} = 1 - \left(\dfrac{2}{3}\right)^6 \approx 0.91$

a) D'après les questions précédentes : $p(X=-2)=p(P)=\dfrac{2}{3}$ , $p(X=1)=p(G_3)=\dfrac{7}{36}$ , et $p(X=3)=p(G_2)=\dfrac{5}{36}$ .
b) L'espérance de gain du joueur est : $(-2)\times p(X=-2)+1\times p(X=1)+3\times p(X=3)=-2\times \dfrac{2}{3}+\dfrac{7}{36}+3\times\dfrac{5}{36} = -\dfrac{4}{3}+\dfrac{7}{36}+\dfrac{15}{36}=\dfrac{-48+22}{36}=-\dfrac{26}{36}\approx -0,72$
L'espérance de gain du joueur étant négative, le jeu lui est défavorable.

Exercice 2

Un arbre pour illustrer le problème :
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a) Au premier tirage, l'urne contient $40$ boules dont $30$ boules blanches, donc $p(B_1) = \dfrac{30}{40} = 0,75$
On tire une boule blanche, donc on la remet dans l'urne et on ajoute $10$ boules blanches;
l'urne contient alors $50$ boules dont $40$ boules blanches, donc $p_{B_1}(B_2)=\dfrac{40}{50}=0,80$
par conséquent, $p(B_1\cap B_2)=p(B_1)p_{B_1}(B_2)=0,75 \times 0,80=0,60$ .
De même, si on avait tiré une boule noire au premier tirage : $p(N_1)=1-p(B_1)=0,25$ .
On aurait ajouté $10$ boules noires, donc l'urne contiendrait avant le second tirage $50$ boules dont $30$ blanches donc $p_{N_1}(B_2)=\dfrac{30}{50}=0,60$ .
Donc $p(N_1\cap B_2)=p(N_1)p_{N_1}(B_2)=0,25 \times 0,60=0,15$ .
Donc $p(B_2)=p(B_1\cap B2)+p(N_1\cap B_2)=0,60+0,15=0,75$ .
b) $p_{B_2}(B_1) = \dfrac{p(B_1\cap B_2)}{p(B_2)} = \dfrac{0,60}{0,75}=0,80$ .
c) $p(A)=p(B_1\cap N_2)+p(N_1\cap B_2)$ .
Or $p(B_1\cap N_2)=p(B_1)p_{B_1}(N_2)=p(B_1)[1-p_{B_1}(B_2)]=0,75\times(1-0,80)=0,15$ et $p(N_1\cap B_2)=0,15$
Donc $p(A)=0,15+0,15=0,30 = \dfrac{3}{10}$ .

$2.$ a) Il s'agit d'un schéma de Bernoulli de paramètres $n = 8$ et $p = 0,30$ .
$X$ suit donc une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$ : pour tout entier $k$ entre $0$ et $n$ , on a $p(X=k)= \binom{n}{k}\ p^k(1-p)^{n-k}$
Donc $p(X=3)= \binom{8}{3}0,3^3\ 0,7^5=0,25$ (arrondi à $10^{-2}$ près)

b) L'espérance mathématique d'une variable aléatoire qui suit une loi binomiale est donnée par $E(X) = np$ donc $E(X)=8\times0,3=2,4$

$3.$ On réitère le même raisonnement, en fonction de $n$ .
L'arbre correspondant est :
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$p(B_1) = \dfrac{3}{4}$ (ça ne change pas) et alors $p_{B_1}(N_2) = \dfrac{10}{40+n}$ donc $p(B_1\cap N_2) = \dfrac{30}{4(40+n)} = \dfrac{15}{2(40+n)}$

$p(N_1) = \dfrac{1}{4}$ et alors $p_{N_1}(B_2)=\dfrac{30}{40+n}$ donc $p(N_1\cap B_2) = \dfrac{30}{4(40+n)} = \dfrac{15}{2(40+n)}$

Donc $p(A)=p(B_1\cap N_2)+p(N_1\cap B_2)=\dfrac{15}{40+n}$

On cherche $n$ tel que $p(A)=\dfrac{1}{4}$ .
Donc $\dfrac{15}{40+n}=\dfrac{1}{4}$ donc $40+n=60$ , d'où $n=20$ .
Conclusion, pour $n=20$ , on obtient $p(A)=\dfrac{1}{4}$

Exercice suivant

Loi binomiale