Équations de la forme y'=ay

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Définition :
L’équation différentielle (EH):y=ay(E_H) : y' = ay (aRa \in \mathbb{R}), qui peut aussi s’écrire yay=0y' - ay = 0, est appelée équation différentielle linéaire homogène du premier ordre à coefficients constants.

Remarque :
Une équation différentielle homogène est aussi appelée « équation sans second membre ».

Exemple :
Les équations y=3yy' = 3y et 3y+2y=03y' + 2y = 0 sont des équations différentielles linéaires homogènes du premier ordre à coefficients constants avec respectivement a=3a = 3 et a=23a = -\dfrac{2}{3}.

Théorème :
Les solutions de (EH):y=ay(E_H) : y' = ay sont les fonctions définies sur R\mathbb{R} par :
y(x)=Ceax,CRy(x) = C \text e^{ax},\quad C \in \mathbb{R}

Exemple :
On considère : (EH):y=3y(E_H) : y' = 3y

Voici quelques représentations graphiques des fonctions xCe3xx\mapsto C\text e^{3x} avec CRC\in\mathbb R toutes solutions de l'équation différentielle y=3yy'=3y, suivant différentes valeurs de la constante CC.

Remarque :
Soit aRa \in \mathbb{R}^*. Les courbes représentatives des solutions sur R\mathbb{R} de l’équation y=ayy' = ay ont les allures suivantes :

picture-in-text

Théorème :
L’équation différentielle (EH):y=ay(E_H) : y' = ay (aRa \in \mathbb{R}) admet une unique solution vérifiant la condition initiale y(x0)=y0y(x_0) = y_0, où x0x_0 et y0y_0 sont deux réels.

Exemple :
Déterminer l’unique solution de l’équation différentielle (E):y=2y(E) : y' = 2y avec y(0)=4y(0) = 4.

Pour tout réel xx, y(x)=Ce2x,CRy(x) = C\text e^{2x},\quad C \in \mathbb{R}.

On a :
y(0)=Ce0=C=4y(0) = C \text e^{0} = C = 4

Donc C=4C = 4 et y(x)=4e2xy(x) = 4\text e^{2x}.

Théorème : Principe de superposition
Si y1y_1 et y2y_2 sont deux solutions de l’équation différentielle (EH):y=ay(E_H) : y' = ay, alors :

  • La somme y1+y2y_1 + y_2,

  • Le produit ky1ky_1 (kRk \in \mathbb{R}),

sont aussi des solutions de (EH)(E_H).


Exercice d'application :

Déterminer dansR\mathbb R les solutions de l'équation différentielle {y=2yy(0)=3\left\lbrace\begin{matrix} y=2y'\\y(0)=3\end{matrix}\right.

Solution :

L'équation différentielle y=2yy=2y' s'écrit y=12yy'=\dfrac 12 y. Les solutions sont du type f(x)=Ce12x,CRf(x)=C\text e^{\frac 12 x},C\in \mathbb R. Mais f(0)=3f(0)=3 soit 3=Ce03=C\text e ^0 d'où C=3C=3.

La solution cherchée est la fonction ff définie sur R\mathbb R par f(x)=3e12xf(x)=3\text e^{\frac 12 x}