Définition :
L’équation différentielle (), qui peut aussi s’écrire , est appelée équation différentielle linéaire homogène du premier ordre à coefficients constants.
Remarque :
Une équation différentielle homogène est aussi appelée « équation sans second membre ».
Exemple :
Les équations et sont des équations différentielles linéaires homogènes du premier ordre à coefficients constants avec respectivement et .
Théorème :
Les solutions de sont les fonctions définies sur par :
Exemple :
On considère :
Voici quelques représentations graphiques des fonctions avec toutes solutions de l'équation différentielle , suivant différentes valeurs de la constante .
Remarque :
Soit . Les courbes représentatives des solutions sur de l’équation ont les allures suivantes :
Théorème :
L’équation différentielle () admet une unique solution vérifiant la condition initiale , où et sont deux réels.
Exemple :
Déterminer l’unique solution de l’équation différentielle avec .
Pour tout réel , .
On a :
Donc et .
Théorème : Principe de superposition
Si et sont deux solutions de l’équation différentielle , alors :
La somme ,
Le produit (),
sont aussi des solutions de .
Exercice d'application :
Déterminer dans les solutions de l'équation différentielle
Solution :
L'équation différentielle s'écrit . Les solutions sont du type . Mais soit d'où .
La solution cherchée est la fonction définie sur par