Entraînement

Tangente à la courbe d'une fonction

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Énoncé

Exercice 1

Soit f(x)=x2f(x) = x^2.
On veut tracer la tangente à la courbe au point d’abscisse a=1a=1.

  1. Calcule le taux de variation f(1+h)−f(1)h\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}.

  2. Conjecture la valeur de f′(1)f'(1).

  3. Place le point A(1  ;  f(1))A(1\;;\;f(1)) et trace la tangente avec comme coefficient directeur f′(1)f'(1).

Exercice 2

Soit f(x)=1xf(x) = \dfrac{1}{x}.
On veut tracer la tangente à la courbe au point d’abscisse a=2a=2.

  1. Calcule le taux de variation f(2+h)−f(2)h\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h} .

  2. Donne une valeur approchée de f′(2)f'(2).

  3. En déduis le coefficient directeur de la tangente, puis écris une équation de cette tangente en utilisant y=f′(a)(x−a)+f(a)y=f'(a)(x-a)+f(a).

  4. Trace la tangente en A(2  ;  f(2))A(2\;;\;f(2)).

Exercice 3

Soit f(x)=xf(x)=\sqrt{x}.
On veut tracer la tangente à la courbe au point d’abscisse a=4a=4.

  1. Calcule le taux de variation f(4+h)−f(4)h\dfrac{f(4+h)-f(4)}{h} .

  2. Conjecture la valeur de f′(4)f'(4).

  3. Place A(4  ;  f(4))A(4\;;\;f(4)) et trace la tangente avec le coefficient directeur trouvé.

Révéler le corrigé

Exercice 1

f(x)=x2f(x)=x^2 en a=1a=1
Étape 1. Calcul du taux d’accroissement en a=1a=1
f(1+h)−f(1)h=(1+h)2−1h=1+2h+h2−1h=2h+h2h=2+h \dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\dfrac{(1+h)^2-1}{h}=\dfrac{1+2h+h^2-1}{h}=\dfrac{2h+h^2}{h}=2+h
Étape 2. Limite quand h→0h\to 0 (définition de f′(1)f'(1))
lim⁡h→0(2+h)=2 \displaystyle\lim_{h\to 0}(2+h)=2
Donc f′(1)=2 f'(1)=2 .
Étape 3. Tracé de la tangente en A(1  ;  f(1))=(1  ;  1)A(1\;;\;f(1))=(1\;;\;1)
Le coefficient directeur est 22. Pour tracer, on peut utiliser un vecteur directeur (1  ;  2)(1\;;\;2) à partir de AA (ou tout colinéaire, par exemple (2  ;  4)(2\;;\;4)).
(Remarque : on n’exige pas ici l’équation de la tangente.)

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Exercice 2

f(x)=1xf(x)=\dfrac{1}{x} en a=2a=2


Étape 1. Calcul du taux d’accroissement en a=2a=2
f(2+h)−f(2)h=12+h−12h=2−(2+h)2(2+h)h=−h2(2+h)⋅1h=−12(2+h)=−14+2h \dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=\dfrac{\dfrac{1}{2+h}-\dfrac{1}{2}}{h}=\dfrac{\dfrac{2-(2+h)}{2(2+h)}}{h}=\dfrac{-h}{2(2+h)}\cdot\dfrac{1}{h}=-\dfrac{1}{2(2+h)}=-\dfrac{1}{4+2h}

Étape 2. Limite quand h→0h\to 0 (définition de f′(2)f'(2))
lim⁡h→0(−14+2h)=−14 \displaystyle\lim_{h\to 0}\left(-\dfrac{1}{4+2h}\right)=-\dfrac{1}{4}
Donc f′(2)=−14 f'(2)=-\dfrac{1}{4} .

Étape 3. Équation de la tangente au point A(2  ;  f(2))=(2  ;  12)A(2\;;\;f(2))=\left(2\;;\;\dfrac{1}{2}\right)
Formule du cours : y=f′(a)(x−a)+f(a) y=f'(a)(x-a)+f(a) .

Ici a=2 a=2 , f′(2)=−14 f'(2)=-\dfrac{1}{4} , f(2)=12 f(2)=\dfrac{1}{2} .
y=−14(x−2)+12=−14x+12+12=−14x+1 y=-\dfrac{1}{4}(x-2)+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{4}x+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{4}x+1

Étape 4. Tracé
Placer A(2  ;  12)A\left(2\;;\;\dfrac{1}{2}\right), puis tracer la droite de pente −14-\dfrac{1}{4} (par exemple avec un vecteur directeur (4  ;  −1)(4\;;\;-1) qui lui est colinéaire) ; ou bien tracer la tangente connaissant son équation.

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Exercice 3

f(x)=xf(x)=\sqrt{x} en a=4a=4


Étape 1. Calcul du taux d’accroissement en a=4a=4
f(4+h)−f(4)h=4+h−2h \dfrac{f(4+h)-f(4)}{h}=\dfrac{\sqrt{4+h}-2}{h}
On rationalise le numérateur :
4+h−2h⋅4+h+24+h+2=(4+h)−4h(4+h+2)=hh(4+h+2)=14+h+2 \dfrac{\sqrt{4+h}-2}{h}\cdot\dfrac{\sqrt{4+h}+2}{\sqrt{4+h}+2}=\dfrac{(4+h)-4}{h\big(\sqrt{4+h}+2\big)}=\dfrac{h}{h\big(\sqrt{4+h}+2\big)}=\dfrac{1}{\sqrt{4+h}+2}

Étape 2. Limite quand h→0h\to 0 (définition de f′(4)f'(4))
lim⁡h→014+h+2=12+2=14 \displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{1}{\sqrt{4+h}+2}=\dfrac{1}{2+2}=\dfrac{1}{4}
Donc f′(4)=14 f'(4)=\dfrac{1}{4} .


Étape 3. Tracé de la tangente en A(4  ;  f(4))=(4  ;  2)A(4\;;\;f(4))=(4\;;\;2)
Le coefficient directeur est 14\dfrac{1}{4}. Pour tracer : vecteur directeur (1  ;  14)\left(1\;;\;\dfrac{1}{4}\right) (ou (4  ;  1)(4\;;\;1)qui lui est colinéaire) à partir de AA.
(Remarque : on n’exige pas ici l’équation de la tangente.)

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Définition de la dérivée
Exercice suivant
Dérivées de fonctions simples ou composées