Tableau de variations d'une fonction

Exercice 1

👉 Conseil : dans un tableau de variations, lis toujours de gauche à droite pour suivre l’évolution de la fonction.

a) $f(x) = 1$
On trace la droite d'équation $y = 1$ (droite parallèle à l'axe des abscisses). Cette droite coupe la courbe en trois points.
Les solutions de l'équation $f(x) = 1$ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe et de la droite.
D'où : $S = \{-3; -1; 2\}$
👉 Conseil : pour résoudre graphiquement, pense toujours « intersections = solutions ».

b) $f(x) = 0$
On trace la droite d'équation $y = 0$ (c'est à l'axe des abscisses). Cette droite coupe la courbe en trois points.
Les solutions de l'équation $f(x) = 0$ sont les abscisses des points d'intersection de la courbe et de la droite.
D'où : $S = \{-2,5; -1,5; 3\}$
👉 Conseil : résoudre $f(x) = 0$ revient à chercher où la courbe coupe l’axe des abscisses.

c) $f(x) = -1$
On trace la droite d'équation $y = -1$ (droite parallèle à l'axe des abscisses). Cette droite coupe la courbe en un point.
La solution de l'équation $f(x) = -1$ est l'abscisse du point d'intersection de la courbe et de la droite.
D'où : $S = \{-2\}$
👉 Conseil : une seule intersection signifie une seule solution.

d) $f(x) = 2$
On trace la droite d'équation $y = 2$ (droite parallèle à l'axe des abscisses). Cette droite coupe la courbe en un point.
La solution de l'équation $f(x) = 2$ est l'abscisse du point d'intersection de la courbe et de la droite.
D'où : $S = \{1\}$
👉 Conseil : vérifie toujours que la droite coupe bien la courbe sur l’intervalle étudié.

Pour tout $x \in [-3; -2,5] \cup [-1,5; 3]$, $f(x) \geq 0$
Pour tout $x \in [-2,5; -1,5]$, $f(x) \leq 0$
👉 Conseil : le signe de $f(x)$ dépend de la position de la courbe par rapport à l’axe des abscisses.

4. $f(x) = \dfrac{1}{2} x$
   On trace la droite d'équation $y = \dfrac{1}{2} x$.

Cette droite coupe la courbe en deux points. Les solutions de l'équation sont les abscisses des points d'intersection de la droite et de la courbe.
D'où : $S = {-2; 2}$
👉 Conseil : compare toujours les positions relatives de la courbe et de la droite.

$f(x) \leq \dfrac{1}{2} x$
Les solutions de cette inéquation sont les abscisses des points de la courbe situés en-dessous ou sur la droite d'équation $y = \dfrac{1}{2} x$.
D'où : $S = \{-2\} \cup [2; 3]$.
👉 Conseil : pour une inéquation, pense « en dessous ou au-dessus » de la droite selon le signe.

Exercice 2

1. a) Variations de $f$ sur $[0; 40]$ :
   Soient $a$ et $b$ deux réels de $[0; 40]$ tels que $a < b$. On a :
   $f(a) - f(b) = -2a^2 + 160a - (-2b^2 + 160b)$
   $= -2(a^2 - b^2) + 160(a - b)$
   $= -2(a - b)(a + b) + 160(a - b)$
   $= (a - b)(-2(a + b) + 160)$
   $= -2(a - b)(a + b - 80)$
   Comme $a < b$, alors $a - b < 0$.
   Comme $a$ et $b$ sont deux réels de $[0; 40]$, alors : $a < 40$ et $b \leq 40$.
   Donc : $a + b < 80$, soit $a + b - 80 < 0$
   Par conséquent : $-2(a - b)(a + b - 80) < 0$
   D'où : $0 \leq a < b \leq 40$ entraîne $f(a) < f(b)$ : la fonction $f$ est croissante sur $[0; 40]$.
   👉 Conseil : pour étudier les variations, analyse toujours le signe de $f(a) - f(b)$.

Variations de $f$ sur $[40; 80]$ :
Soient $a$ et $b$ deux réels de $[40; 80]$ tels que $a < b$. On a :
$f(a) - f(b) = -2(a - b)(a + b - 80)$
Comme $a < b$, alors $a - b < 0$.
Comme $a$ et $b$ sont deux réels de $[40; 80]$, alors : $a \geq 40$ et $b > 40$.
Donc : $a + b > 80$, soit $a + b - 80 > 0$
Par conséquent : $-2(a - b)(a + b - 80) > 0$
D'où : $40 \leq a < b \leq 80$ entraîne $f(a) > f(b)$ : la fonction $f$ est décroissante sur $[40; 80]$.
👉 Conseil : un changement de signe indique souvent un extremum.

1. b) Comme $f$ est croissante sur $[0; 40]$ puis décroissante sur $[40; 80]$, alors $f$ admet un maximum atteint pour $x = 40$. Ce maximum vaut $f(40) = 3\ 200$.
   👉 Conseil : un maximum est atteint là où la fonction passe de croissante à décroissante.

2. $x$ et $y$ représentent les longueurs des côtés du rectangle dessiné sur le schéma.
   La longueur de la corde dont on dispose est de $160$ mètres, donc : $2x + y = 160$,
   soit $y = 160 - 2x$.
   L'aire du rectangle est : $xy = x(160 - 2x) = -2x^2 + 160x$
   D'après les questions précédentes, $-2x^2 + 160x = f(x)$ et on a montré que cette fonction admet un maximum pour $x = 40$.
   Si $x = 40$, alors $y = 160 - 2 \times 40 = 80$.
   D'où : la largeur du bassin est de $40$ mètres et sa longueur de $80$ mètres.
   👉 Conseil : modéliser une situation concrète par une fonction permet d’optimiser facilement.