Image, antécédent et représentation graphique

Soit une fonction $f$. On a vu que :

I. Exemple d'une fonction définie par une expression

Soit la fonction $f$ définie par $f(x)=x^2-4x+6$.

On peut construire un premier tableau de valeurs, puis un second en ajoutant d'autres valeurs de $x$.

On reporte dans un repère les valeurs trouvées, on met en abscisse les valeurs de $x$ et en ordonnées celles de $f(x)$.Retenir :

Dire que $A(1\;;\;3)$ appartient à la courbe représentative de $f$ signifie que $f(1)=3$

II. Trouver l'image d'une valeur par une fonction dont je connais la représentation graphique

On donne une courbe représentative d'une fonction $f$ dans un repère du plan.

Lire sur le graphique l'image de $2$ par $f$.

On prend l'abscisse $x=2$ (sur l'axe des abscisses donc). On "monte" ou on "descend" parallèlement à l'axe des ordonnées, afin de rejoindre la courbe. On obtient ici le point $A$ de la courbe. Du point $A$ on rejoint l'axe des ordonnées parallèlement à l'axe des abscisses. On lit l'ordonnée $-3$. On peut affirmer que $\boxed{f(2)=-3}$

II. Trouver l'antécédent ou les antécédents d'une valeur par une fonction dont on connaît la représentation graphique

On donne une courbe représentative d'une fonction $f$ dans un repère.

Lire sur le graphique l'antécédent ou les antécédents de $-3$ par $f$.

On place le point d'ordonnée $-3$ sur l'axe des ordonnées.

On coupe la courbe avec une parallèle à l'axe des abscisses, et on regarde le nombre de points d'intersection entre la droite et la courbe $C_f$ .

Ici, on trouve trois points d'intersection. On lit alors les abscisses de des points d'intersection. On trouve par lecture graphique environ $-2,5\;; 2$ et $4,5$.

On peut donc affirmer que le nombre $-3$ admet trois antécédents par $f$ ; on peut écrire :

$\boxed{ f(-2,5)\approx-3\;;\;f(2)\approx-3\;;\;f(4,5)\approx-3}$

III. Le point appartient-il à la courbe ?

Énoncé :

Suite à un programme de calcul, on a trouvé une expression algébrique d'une fonction $g$.

On sait que $g(x)=x^2-3x+1$ avec $x\in [-3\,;\,3]$. On appelle $C_g$ la courbe représentative de $g$ dans un repère du plan.

1. Quelle est l'ordonnée du point $A$ de la courbe $C_g$ d'abscisse $-3$ ?

2. Le point $B(0\,; \,2)$ appartient-il à la courbe $C_g$ ?

3. Le point $C(2\,;\,-1)$ appartient-il à $C_g$ ?

4. Existe-t-il des points de $C_g$ d'ordonnée $1$ ? si oui, le ou les déterminer.

5. Réaliser une ébauche de la courbe $C_g$ dans un repère du plan, en y faisant apparaître les résultats des questions précédentes.

Solution :

1. Quelle est l'ordonnée du point $A$ de la courbe $C_g$ d'abscisse $-3$ ?

On cherche l’image de $-3$ par la fonction $g$, c’est-à-dire $g(-3)$.

Calcul :

$g(-3) = (-3)^2 - 3 \times (-3) + 1 = 9 + 9 + 1 = 19$

Conclusion :

Le point $A$ a pour coordonnées $(-3\,;\,19)$.

2. Le point $B(0\,;\,2)$ appartient-il à la courbe $C_g$ ?

Pour qu’un point appartienne à la courbe $C_g$, il suffit que son ordonnée soit égale à l’image de son abscisse par $g$.

On calcule $g(0)$ :

$g(0) = 0^2 - 3 \times 0 + 1 = 0 - 0 + 1 = 1$

Or, le point $B$ a pour ordonnée $2$, donc $g(0) \neq 2$.

Conclusion :

Le point $B(0\,;\,2)$ n’appartient pas à la courbe $C_g$.

3. Le point $C(2\,;\,-1)$ appartient-il à $C_g$ ?

Même raisonnement : on vérifie si $g(2) = -1$.

$g(2) = 2^2 - 3 \times 2 + 1 = 4 - 6 + 1 = -1$

L’ordonnée du point $C$ est bien égale à l’image de $2$ par $g$.

Conclusion :

Le point $C(2\,;\,-1)$ appartient à la courbe $C_g$.

4. Existe-t-il des points de $C_g$ d’ordonnée $1$ ? Si oui, les déterminer.

Il s’agit ici de résoudre l’équation $g(x) = 1$, c’est-à-dire : $x^2-3x+1=1$

On simplifie :

$x^2 - 3x + 1 - 1 = 0$
$x^2 - 3x = 0$

On factorise :

$x(x - 3) = 0$

Donc les solutions sont :

$x = 0$ ou $x = 3$

Il faut vérifier maintenant si ces deux valeurs de $x$ sont dans l’intervalle de départ, (qu'on appelle ensemble de définition) $[-4\,;\,3]$ :
Oui, les deux appartiennent à cet intervalle.

On peut vérifier que si on calcule les ordonnées des points correspondants, on retrouve bien $1$ :

• Pour $x = 0$ : $g(0) = 1$ → point $D(0\,;\,1)$

• Pour $x = 3$ : $g(3) = 1$ → point $E(3\,;\,1)$

Conclusion :

Il existe deux points de la courbe $C_g$ d’ordonnée $1$ : $D(0\,;\,1)$ et $E(3\,;\,1)$.

5. Représentation graphique (ébauche)

Même si le dessin est à réaliser à la main, voici les points essentiels à tracer dans un repère :

• Le point $A(-3\,;\,19)$

• Le point $C(2\,;\,-1)$

• Les points d’ordonnée $1$ : $D(0\,;\,1)$ et $E(3\,;\,1)$