Suite et récurrence : un exemple rédigé

Il s'agit contrairement aux autres types de démonstrations vus jusqu'à présent de démontrer un résultat de proche en proche sur le principe de "c'est vrai une fois et on peut le répéter".

Il faut être très rigoureux quand on mène ce type de raisonnement et bien respecter trois étapes.

L'initialisation : On montre que la propriété à démontrer est vraie une fois (généralement pour $n=0$ ou $n=1$).

L'hérédité : On montre que si la propriété est vraie à un rang donné $p$ elle est encore vraie au rang suivant $p+1$.

La conclusion : Puisque la propriété a été initialisée et est héréditaire alors elle est vraie à partir du rang de l'initialisation.

On considère la suite $(u_n)$ définie par $\left\lbrace\begin{matrix}u_0=0\\u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n+2\end{matrix}\right.$.

Montrons que pour tout entier naturel $n$, $u_n \leqslant 3$.

Initialisation : Prenons $n=0$. $u_0=0 \leqslant 3$.
La propriété est vraie au rang $0$.

Hérédité : Supposons la propriété vraie au rang $p$ : $u_p \leqslant 3$

Alors :

$\left\lbrace \begin{array}{rcl} u_{p+1} & = & \dfrac{1}{3}u_p+2 \\ & \leqslant & \dfrac{1}{3} \times 3 + 2 \\ & \leqslant & 1+2 \\ & \leqslant & 3 \end{array} \right.$

La propriété est donc vraie au rang $p+1$.

Conclusion : La propriété est vraie au rang $0$ et est héréditaire. Par conséquent, pour tout entier naturel $n$ on a : $u_n \leqslant 3$.