Raisonnement par récurrence (une inégalité)

Montrons par récurrence que pour tout $n\geq 5 : 2^n\geq 6n$

On pose : $\mathcal{P}(n) : 2^n\geq 6n$

Initialisation : Pour $n=5$ : $\left\lbrace\begin{matrix}2^5& = & 32\ 6\times 5& = & 30\leq 32\end{matrix}\right.$

Donc $\mathcal{P}(5)$ est vraie.

Hérédité : Soit $k$ un entier naturel tel que $k\geq 5$ et supposons que $\mathcal{P}(k)$ est vraie.

Montrons que $\mathcal{P}(k+1)$ est vraie.

Hypothèse : $\mathcal{P}(k) : 2^k \geq 6k$
Résultat à prouver : $\mathcal{P}(k+1) : 2^{k+1} \geq 6(k+1)$

$2^{k+1}=2\times 2^k\geq 2\times 6k =12k=6k+6k= 6k+6k+6-6=6k+6+6k-6=6(k+1)+6(k-1)\text{ (En effet : on essaye de faire apparaître } 6(k+1)\text{ )}$

Or, puisque $k\geq 5$ alors $k-1\geq 4$ et $6(k-1)\geq 24\geq 0$

On en déduit $6(k+1)+6(k-1)\geq 6(k+1)$ et il s'ensuit que $2^{k+1}\geq 6(k+1)$

$\mathcal{P}(k+1)$ est donc vraie.

On conclut par récurrence que : $\boxed{\text{ Pour tout }n\geq 5 : 2^n\geq 6n}$