Résolution d’un exercice de géométrie complexe

1. Soit
   $(E)\text{ : }z^2-(4-3i)z+1-7i=0$

a) Directement :

$(2+i)^2=2^2+2\times 2\times i +i^2=4+4i-1=\boxed{3+4i}$

b) Calculons le discriminent $\Delta$ :

$\begin{matrix}\Delta&=&\left[-(4-3i)\right]^2-4(1-7i)&\\&=&16-24i-9-4+28i&\\&=&3+4i&\\&=&(2+i)^2&\\& \neq &0\end{matrix}$

L'équation $(E)$ admet donc deux solutions distincts $z_1 \text{ et }z_2$ :

$\begin{matrix}z_1&=&\dfrac{4-3i-(2+i)}{2}\\&=&\dfrac{2-4i}{2}\\&=& 1-2i\end{matrix}$
$\qquad\qquad\qquad\qquad$
$\begin{matrix}z_2&=&\dfrac{4-3i+(2+i)}{2}\\&= &\dfrac{6-2i}{2}\\&=& 3-i\end{matrix}$

L'ensemble des solutions de l'équation $(E)$ est :
$\boxed{S_{(E)}=\lbrace 1-2i\text{ ; }3-i\rbrace }$

2-a) On a :

$z_A-z_B=3-i-(1-2i)=3-i-1+2i=2+i$

$\overline{(z_A-z_C)}=\overline{(3-i-(1+3i))}= \overline{2-4i}=2+4i$

D'où : $(z_A-z_B)\overline{(z_A-z_C)}=(2+i)(2+4i)=4+8i+2i-4=10i$

$\boxed{(z_A-z_B)\overline{(z_A-z_C)}=10i}$

b) Puisque :

On sait , d'après le cours , que : $\forall z\in\mathbb{C}^{*} \text{ : }z\bar{z}=|z|^2 \iff \bar{z}=\dfrac{|z|^2}{z}$

Donc : $(z_A-z_B)\overline{(z_A-z_C)}=(z_A-z_B)\dfrac{|z_A-z_C|^2}{z_A-z_C}=|z_A-z_C|^2\dfrac{z_A-z_B}{z_A-z_C}$

Or , puisque $|z_A-z_C|^2\in\R$ .

Alors $\arg\left[(z_A-z_B)\overline{(z_A-z_C)}\right]\equiv \arg\left[|z_A-z_C|^2\dfrac{z_A-z_B}{z_A-z_C}\right]\enskip[2\pi]\equiv \arg\left(\dfrac{z_A-z_B}{z_A-z_C}\right)\enskip[2\pi]\equiv \arg\left(\dfrac{z_B-z_A}{z_C-z_A}\right)\enskip[2\pi]$

D'où le résultat : $\left(\widehat{\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}}\right)\equiv \arg\left[(z_A-z_B)\overline{(z_A-z_C)}\right]\enskip[2\pi]$

c)

$\begin{matrix}\left(\widehat{\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}}\right)&\equiv& \arg\left[(z_A-z_B)\overline{(z_A-z_C)}\right]\enskip[2\pi]\enskip \\ & \equiv & \arg\left(10i\right)\enskip [2\pi]\\ & \equiv & \arg\left(i\right)\enskip [2\pi] \\ &\equiv & \dfrac{\pi}{2}\enskip[2\pi] \end{matrix}$

On en tire que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$ .

Donc $A$ appartient au cercle de diamètre $[BC]$ qui n'est autre que le cercle $(\mathscr{C})$ .

$\boxed{A\in(\mathscr{C})}$

3-a) Le point $\Omega$ est le centre du cercle $(\mathscr{C})$ de diamètre $[BC]$ .

Donc $\Omega$ est le milieu de $[BC]$ et on peut écrire : $z_{\Omega}=\dfrac{z_B+z_C}{2} = \dfrac{1-2i+1+3i}{2}=\dfrac{2+i}{2}=1+\dfrac{1}{2}i$

$\boxed{z_{\Omega}=1+\dfrac{1}{2}i}$

Calculons $\Omega A$ , le rayon du cercle $(\mathscr{C})$ :

$\Omega A=|z_A-z_{\Omega}|=\left|3-i-1-\dfrac{1}{2}i\right|=\left|2-\dfrac{3}{2}i\right|=\sqrt{4+\dfrac{9}{4}}=\sqrt{\dfrac{25}{4}}=\dfrac{5}{2}$

$\boxed{\Omega A=\dfrac{5}{2}}$

b) Une équation du cercle $(\mathscr{C})$ de centre $\Omega\left(x_{\Omega};y_{\Omega}\right)$ et de rayon $r=\Omega A$ s'écrit : $\left(x-x_{\Omega}\right)^2+\left(y-y_{\Omega}\right)^2=r^2$

Or , puisque $z_{\Omega}=1+\dfrac{1}{2}i\text{ ; alors }x_{\Omega }=1\text{ et }y_{\Omega}=\dfrac{1}{2}$ . De plus $r=\Omega A= \dfrac{5}{2}\Rightarrow r^2=\dfrac{25}{4}$

On conclut que l'équation du cercle $(\mathscr{C})$ s'écrit :
$\boxed{(x-1)^2+\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{25}{4}}$

4-a) Puisque $\begin{cases} z_B=1-2i \\z_C=1+3i \end{cases}$ , alors $x_B=x_C=1$

La droite $(BC)$ est alors la droite verticale d'équation $x=1$ . Le projeté orthogonal $H$ du point $M$ sur cette droite a donc pour abscisse $x_H=1$ .

Et puisque la droite $(BC)$ est verticale , cette projection orthogonale se fait suivant l'axe des abscisses .

Ce qui veut dire que les points $H$ et $M$ ont la même ordonnée , donc : $y_H=y_M=y$ .

On en déduit que : $z_H=x_H+iy_H=1+iy$

$\boxed{z_H=1+iy}$

b) Puisque le point $H$ le projeté orthogonal du point $M$ sur la droite $(BC)$ , alors l'aire $S$ du triangle $MBC$ est : $S=\dfrac{MH\times BC}{2}$
Or , on a :

$MH=|z_M-z_H|=|x+iy-1-iy|=|x-1|$
$BC=2\Omega A =2 \times \dfrac{5}{2}= 5 \quad \text{ ( Puisque } [\Omega A] \text{ est le rayon du cercle }(\mathscr{C}) \text{ et }[BC] \text{ son diamètre } )$ .
D'où : $S= \dfrac{MH\times BC}{2}=\dfrac{|x-1|\times 5 }{2}$
Ou encore :
$\boxed{ S=\dfrac{5}{2}\left|x-1\right| }$

c) On a :

$\begin{matrix}S=5 &\iff& \dfrac{5}{2}\left|x-1\right|=5\\ {\phantom{S=5}}&\iff& |x-1|=2 \\{\phantom{S=5}} &\iff &x-1=2\enskip\text{ ou }\enskip x-1=-2 \\{\phantom{S=5}} &\iff& x=3\enskip\text{ ou }\enskip x=-1\end{matrix}$

Il nous reste à déterminer les ordonnées . Puisque $M$ appartient à $(\mathscr{C})$ , on peut tirer ces ordonnées de son équation :

$(x-1)^2+\left(y-\dfrac{1}{2}\right)^2=\dfrac{25}{4} \iff \left(y-\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{25}{4}-(x-1)^2 \iff \\ \begin{cases} y-\dfrac{1}{2} = \sqrt{\dfrac{25}{4}-(x-1)^2}\\\text{ ou }\\y-\dfrac{1}{2} = -\sqrt{\dfrac{25}{4}-(x-1)^2} \end{cases} \text{ et }\dfrac{25}{4}\geq (x-1)^2$

Ou encore : $\begin{cases} y = \sqrt{\dfrac{25}{4}-(x-1)^2}+\dfrac{1}{2}\\ \text{ ou }\\ y = -\sqrt{\dfrac{25}{4}-(x-1)^2}+\dfrac{1}{2} \end{cases} \text{ et }\dfrac{25}{4}\geq (x-1)^2$

Si $x=-1 \text{ ou } x=3$ , alors $(x-1)^2=4\leq \dfrac{25}{4}$ , on peut donc remplacer dans les expressions de $y$ trouvées :

$y=\sqrt{\dfrac{25}{4}-4}+\dfrac{1}{2}= \sqrt{\dfrac{9}{4}}+\dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}=2$

$y=-\sqrt{\dfrac{25}{4}-4}+\dfrac{1}{2}= -\sqrt{\dfrac{9}{4}}+\dfrac{1}{2} = -\dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2}=-1$

Les points du cercle $(\mathscr{C})$ qui vérifient $S=5$ sont donc :

$M_1(-1;2)\text{ , }M_2(-1;-1)\text{ , }M_3(3;2)\text{ et }M_4(3;-1)=A$

Ou encore , sous forme d'affixe :

$\boxed{\begin{matrix}\text{ Les quatre points du cercle }(\mathscr{C}) \text{ qui vérifient }S=5 \text{ sont } M_1\text{ , }M_2\text{ , }M_3 \text{ et }A \\ \text{ d'affixes respectives } z_{M_1}=-1+2i\text{ ; }z_{M_2}=-1-i\text{ ; }z_{M_3}=3+2i \text{ et }z_A=3-i \end{matrix}}$

La figure (non demandée) :