Résolution d’équations et d’inéquations avec des logarithmes

Exercice 1

On a $5^x=20$.

1. Prendre le logarithme des deux côtés : $; \log(5^x)=\log(20)$.

2. Propriété : $\log(5^x)=x_,\log(5)$. D’où $x,\log(5)=\log(20)$.

3. Isoler $x$ : $\; x=\dfrac{\log(20)}{\log(5)}$.

4. Approximation : avec $\log(20)\approx 1{,}3010$ et $\log(5)\approx 0{,}6990$,
   $\; x\approx \dfrac{1{,}3010}{0{,}6990}\approx 1{,}862$.

👉 Astuce : Tu peux remplacer $\log$ par $\ln$ car $\; x=\dfrac{\ln(20)}{\ln(5)}$ donne le même résultat (changement de base).

Exercice 2

On a $3^x=50$.

1. Prends le log des deux membres : $\; \log(3^x)=\log(50)$.

2. Linéariser l’exposant : $\; x\,\log(3)=\log(50)$.

3. Isoler $x$ : $\; x=\dfrac{\log(50)}{\log(3)}$.

4. Approximation : $\log(50)\approx 1{,}6990$, $\log(3)\approx 0{,}4771$,
   $\; x\approx \dfrac{1{,}6990}{0{,}4771}\approx 3{,}561$.

👉 Vérification rapide : $3^{3{,}5}\approx 46{,}8$ et $3^{3{,}6}\approx 52{,}5$, donc $x$ est bien entre $3{,}5$ et $3{,}6$.

Exercice 3

Résoudre $4^x<60$ avec $4>1$.

1. Logarithmer en conservant le sens (car $4>1$) : $; \log(4^x)<\log(60)$.

2. Linéariser : $; x,\log(4)<\log(60)$.

3. Isoler $x$ : $; x<\dfrac{\log(60)}{\log(4)}$.

4. Approximation : $\log(60)\approx 1{,}7782$, $\log(4)\approx 0{,}6021$,
   $; x<\dfrac{1{,}7782}{0{,}6021}\approx 2{,}953$.

👉 Attention : Si $0<a<1$, alors passer au $\log$ inverse le sens de l’inégalité car $\log(a)<0$. Ici $a=4>1$, donc on garde le sens.

Exercice 4

$7^x=0{,}2$.

1. Prends le log des deux membres : $\; \log(7^x)=\log(0{,}2)$.

2. Linéariser : $\; x\,\log(7)=\log(0{,}2)$.

3. Isoler $x$ : $\; x=\dfrac{\log(0{,}2)}{\log(7)}$.

4. Signe : $\log(0{,}2)<0$ et $\log(7)>0$, donc $x<0$.

5. Approximation : $\log(0{,}2)\approx -0{,}6990$, $\log(7)\approx 0{,}8451$,
   $\; x\approx \dfrac{-0{,}6990}{0{,}8451}\approx -0{,}826$.

👉 Réflexe : Comme $0{,}2<1$ et que $7^x$ est croissante, il faut un $x$ négatif pour descendre sous $1$.

Exercice 5

Croissance : facteur $1{,}5$ tous les $6$ ans. On cherche $t$ tel que le capital soit multiplié par $5$.

1. Modèle : $1{,}5^{\,t/6}=5$.

2. Prends le log des deux membres : $\; \dfrac{t}{6},\log(1{,}5)=\log(5)$.

3. Isoler $t$ : $_; t=\dfrac{6,\log(5)}{\log(1{,}5)}$.

4. Approximation : $\log(5)\approx 0{,}6990$, $\log(1{,}5)\approx 0{,}1761$,
   $\; t\approx \dfrac{6\times 0{,}6990}{0{,}1761}\approx \dfrac{4{,}194}{0{,}1761}\approx 23{,}8\text{ ans}$.

👉 Lecture pratique : Environ 24 ans pour un facteur $5$ avec un gain de $+50$ tous les $6$ ans.