Représentations paramétriques et orthogonalité

1. Soit la droite $d_1$ définie par la représentation paramétrique $\left\lbrace\begin{matrix} x=2+t\\y=3-t\\z=t \end{matrix}\right.\ (t\in\mathbb{R})$

Si $t = 0$, alors $\left\lbrace\begin{matrix} x=2\\y=3\\z=0\end{matrix}\right.$ Par conséquent, le point $A$ (2 ; 3 ; 0) appartient à la droite $d_1$

2. Montrons que les droites $d_1$ et $d_2$ ne sont pas parallèles. $(d_1): \left\lbrace\begin{matrix} x=2+t\\y=3-t\\z=t \end{matrix}\right.\ (t\in\mathbb{R})$

$\Longleftrightarrow(d_1): \left\lbrace\begin{matrix} x=2+{\color{red}{ 1}}\times t\\y=3+{\color{red}{(-1) }}\times t\\z=0+{\color{red}{1}}\times t \end{matrix}\right.\ (t\in\mathbb{R})$

D’où un vecteur directeur de la droite $d_1$ est $\boxed{\overrightarrow{u_1}(1;-1;1)}.$

$(d_2): \left\lbrace\begin{matrix} x=-5+2t'\\y=-1+t'\\z=5 \end{matrix}\right.\ (t'\in\mathbb{R})$

$\Longleftrightarrow(d_2): \left\lbrace\begin{matrix} x=-5+{\color{red}{2}}\times t'\\y=-1+{\color{red}{1}}\times t'\\z=5+{\color{red}{0}}\times t' \end{matrix}\right.\ (t'\in\mathbb{R})$

D’où un vecteur directeur de la droite $d_2$ est $\boxed{\overrightarrow{u_2}(2;1;0)}.$

Puisque $\dfrac{2}{1}\neq\dfrac{1}{-1}$, les vecteurs $\overrightarrow{u_1}$ et $\overrightarrow{u_2}$ ne sont pas colinéaires. Par conséquent, les droites $d_1$ et $d_2$ ne sont pas parallèles.

3. En utilisant le produit scalaire, nous obtenons : $\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u_1}=1\times1+(-2)\times(-1)+(-3)\times1=1+2-3=0$

$\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{v}\perp\overrightarrow{u_1}}$

$\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u_2}=1 \times2+(-2)\times1+(-3)\times0=2-2+0=0$

$\Longrightarrow\boxed{\overrightarrow{v}\perp\overrightarrow{u_2}}$

Par conséquent, le vecteur $\overrightarrow{v}$ est orthogonal aux vecteurs $\overrightarrow{u_1}$ et $\overrightarrow{u_2}.$

4. a) Les vecteurs $\overrightarrow{u_1}$ et $\overrightarrow{v}$ ne sont pas colinéaires car nous avons montré dans la question 3 qu’ils étaient non nuls et orthogonaux.

Soit $\overrightarrow{n}(5 ;4 ;-1)$. $\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{u_1}$ car $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{u_1}=5\times1+4\times(-1)+(-1)\times1=5-4-1=0$

$\overrightarrow{n}\perp\overrightarrow{v}$ car $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{v}=5\times1+4\times(-2)+(-1)\times(-3)=5-8+3=0$

D’où le vecteur $\overrightarrow{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires $\overrightarrow{u_1}$ et $\overrightarrow{v}$ dirigeant le plan $P$.

Nous en déduisons que le vecteur $\overrightarrow{n}$ est orthogonal au plan $P$.

De plus le point A(2 ; 3 ; 0) appartient au plan $P$ d’équation $5x+4y-z-22=0$ car les coordonnées de A vérifient l’équation de $P$.

En effet, $5\times2+4\times3-0-22=10+12-22=0.$

Par conséquent, une équation cartésienne du plan $P$ passant par le point $A$, et dirigé par les vecteurs $\overrightarrow{u_1}$ et $\overrightarrow{v}$ est : $5x+4y-z-22=0.$

b) Montrons que les coordonnées du point $B(3 ;3 ;5)$ vérifient les équations du plan $P$ et de la droite $d_2$.

$B(3;3;5)\in P:5x+4y-z-22=0\ \text{car}\ \ 5\times3+4\times3-5-22=15+12-27=0\\\\\\B(3;3;5)\in (d_2): \left\lbrace\begin{matrix} x=-5+2t'\\y=-1+t'\\z=5 \end{matrix}\right.$

$\text{et si t'=4, alors }\ \ \left\lbrace\begin{matrix} x=-5+8\\y=-1+4\\z=5 \end{matrix}\right.\ \ \Leftrightarrow\left\lbrace\begin{matrix} x=3\\y=3\\z=5 \end{matrix}\right.$

D’où la droite $d_2$ coupe le plan $P$ au point B(3 ; 3 ; 5).

5. a) Une représentation paramétrique de la droite $\Delta$ est : $\left\lbrace\begin{matrix} x={3}+r\times{\color{red}{1}}\\y={3}+r\times{\color{red}{ (-2)}}\\z={5}+r\times{\color{red}{(-3)}} \end{matrix}\right.$ soit $\Delta: \left\lbrace\begin{matrix} x=3+r \\y=3-2r\\z=5-3r\end{matrix}\right.\ (r\in\mathbb{R})$

b) Résolvons le système composé par les équations des droites $d_1$ et $\Delta$. $\left\lbrace\begin{matrix} x=2+t\\y=3-t\\z=t\\\\ x=3+r \\y=3-2r\\z=5-3r \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix} 2+t=3+r\\3-t=3-2r\\t=5-3r\\x=3+r\\y=3-2r\\z=5-3r\end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix} t=5-3r\\2+5-3r=3+r\\3-(5-3r)=3-2r\\x=3+r\\y=3-2r\\z=5-3r\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix} t=5-3r\\7-3r=3+r\\-2+3r=3-2r\\x=3+r\\y=3-2r\\z=5-3r \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix} t=5-3r\\-3r-r=3-7\\3r+2r=3+2 \\x=3+r\\y=3-2r\\z=5-3r\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix} t=5-3r\\-4r=-4\\5r=5\\x=3+r\\y=3-2r\\z=5-3r \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix} t=5-3r\\r=1 \\x=3+r\\y=3-2r\\z=5-3r\end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix} t=5-3\times1\\r=1\\x=3+r\\y=3-2r\\z=5-3r\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix} t=2\\r=1\\x=3+r\\y=3-2r\\z=5-3r \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix} t=2\\r=1\\x=3+1\\y=3-2\\z=5-3 \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\lbrace\begin{matrix} t=2\\r=1\\\boxed{\begin{matrix}x=4\\y=1\\z=2\end{matrix}}\end{matrix}\right.$

Nous en déduisons que les droites $d_1$ et $\Delta$ se coupent au point C(4 ; 1 ; 2).

c) La droite $\Delta$ répond au problème posé.

En effet, La droite $\Delta$ est orthogonale aux droites $d_1$ et $d_2$ (voir question 3). Les droites $d_2$ et $\Delta$ se coupent au point B(3 ; 3; 5) (voir question 4. b).

Les droites $d_1$ et $\Delta$ se coupent au point C(4 ; 1 ; 2) (voir question 5. b).

D’où la droite $\Delta$ est sécante aux deux droites $d_1$ et $d_2$ et est orthogonale à ces deux droites.