Équation cartésienne d’un plan de l’espace

1. Déterminons dans un premier temps les coordonnées des points : $I(1;0;0)$, $J(0;1;0)$ et $G(6,4,2)$.

Déterminons ensuite les coordonnées des vecteurs : $\overrightarrow{IJ}(-1;1;0)$ et $\overrightarrow{IG}(5;4;2)$

$\dfrac{-1}{5}\neq \dfrac{0}{2}$ : les deux vecteurs ne sont donc pas colinéaires.

Regardons enfin les produits scalaires : $\vec{n}.\overrightarrow{IJ}=-2+2+0=0$ et $\vec{n}.\overrightarrow{IG}=10+8-18=0$.

Le vecteur $\vec{n}$ est donc orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan ; il est donc normal à ce plan.

2. Une équation du plan $(IJG)$ est donc de la forme : $2x+2y-9z+d=0$.

Le point $I$ appartient au plan $(IJG)$ ; ses coordonnées vérifient donc l'équation du plan. Ainsi $2+d=0$ soit $d=-2$.

Une équation du plan $(IJG)$ est donc $2x+2y-9z-2=0$.

3. On a $B(6;0;0)$ et $F(6;0;2)$.

Ainsi $\overrightarrow{BF}(0;0;2)$. Une représentation paramétrique de la droite $(BF)$ est donc $\left\lbrace\begin{matrix}x=6 \\ y=0 \\ z=2t \end{matrix} \quad t\in \R \right.$.

Les coordonnées du point $L$ vérifient les équations de la représentation paramétrique et celle du plan. On a donc $2\times 6 -9\times 2t-2=0 \Leftrightarrow 10-18t=0 \Leftrightarrow t= \dfrac{5}{9}$.

Ainsi, en remplaçant $t$ par $\dfrac{5}{9}$ dans la représentation paramétrique de $(BF)$ on obtient les coordonnées de $L$ $\left( 6;0;\dfrac{10}{9}\right)$.