Parité d'une fonction : fonction paire, fonction impaire

On a vu qu'une fonction a un ensemble de départ et un ensemble d'arrivée.

L'ensemble de départ est l'ensemble où est définie la fonction.

Définition :

L'ensemble de définition d'une fonction $f$ est noté $D_f$. Ce sont toutes les valeurs qui ont une image par la fonction $f$.

Exemple :

Soit la fonction $f$ définie par : $\left\lbrace\begin{matrix}f & :& [2\,;5]& \to& \mathbb R\\ & & x & \mapsto & x^4\end{matrix}\right.$

Sur cet exemple, l'ensemble de définition de $f$ est $D_f=[2\,; 5]$ et les valeurs images sont dans $\mathbb R$.

I. Fonction paire : une courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées

Définition :
Soit une fonction $f$ définie sur $D_f$. On dit que f est paire si :
$D_f$ est symétrique par rapport à 0 ; et pour tout $x \in D_f$, $f(-x) = f(x)$

Exemple :
La fonction carré (définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=x^2$) est paire : elle est définie sur $\mathbb{R}$ qui est bien un ensemble symétrique par rapport à $0$,

et pour tout $x$ réel, $f(-x)=(-x)^2 = x^2=f(x)$.

Interprétation graphique :
La représentation graphique d'une fonction paire est une courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.

II. Fonction impaire : une courbe symétrique par rapport à l'origine du repère

Définition
Soit une fonction $f$ définie sur $D_f$. On dit que $f$est impaire si :
$D_f$ est symétrique par rapport à 0 ; et pour tout $x \in D_f$, $f(-x) = -f(x)$

Exemples :
La fonction inverse (définie sur $\mathbb R\setminus\{0\}$par $f(x)=\dfrac 1x$) est impaire : elle est définie sur $\mathbb{R}^*$ qui est bien un ensemble symétrique par rapport à 0,

et pour tout x réel non nul, $f(-x)=\dfrac{1}{-x} = -\dfrac{1}{x}=-f(x)$

Interprétation graphique :
La représentation graphique d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine.

⚠️ La première chose à regarder quand on étudie la parité d'une fonction est de vérifier si l'ensemble de définition est bien symétrique par rapport à $0$. Si l'ensemble de définition $D_f$ n'est pas symétrique par rapport à $0$, l'étude de la parité est terminée, la fonction sera ni paire ni impaire.

III. Fonctions ni paires, ni impaires

👉 Une fonction f peut être ni paire ni impaire.

Exemple 1 :
Soit la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-3\}$ par : $f(x) = \dfrac{1}{x + 3}$
Le réel $-3$ n'a pas d'image par $f$ (puisqu'on ne peut pas diviser par $0$), alors que $3$ a une image par $f$. L'ensemble de définition de $f$ n'étant pas symétrique par rapport à $0$, cette fonction est ni paire ni impaire.

Exemple 2 :

Soit la fonction $g$ définie sur $\mathbb R$ par $g(x)=x^2+x$.

Conjecture à l'aide de la calculatrice par exemple :

La fonction $g$ semble ni symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, ni symétrique par rapport à l'origine du repère.

Démontrons que cette fonction n'est ni paire ni impaire à l'aide d'un contre-exemple.

Prenons par exemple les images de $1$ et de $-1$.

$g(x)=x^2+x$

$g(1)=1^2+1=2$ et $g(-1)=(-1)^2-1=0$.

Les valeurs $g(1)$ et $g(-1)$ ne sont pas égales : la fonction ne peut donc pas être paire.

les valeurs $g(1)$ et $g(-1)$ ne sont pas opposée : la fonction ne peut donc pas être impaire.

On a démontré à l'aide d'un contre-exemple que la fonction $g$ est ni paire, ni impaire.