Milieu d'un segment, distance entre deux points

I. Coordonnées du milieu d'un segment

On se met dans un repère quelconque du plan.

Soient $A$ et $B$ deux points du plan.

Le milieu $I$ de $[AB]$ est défini par $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$

Dans un repère du plan, si $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$ , alors les coordonnées du milieu $I$ de $[AB]$ a pour coordonnées : $x_I=\dfrac{x_A+x_b}{2}$ et $y_I=\dfrac{y_A+y_B}{2}$.

Un exemple de démonstration rédigée :

Tu commences par caractériser le point dont tu cherches les coordonnées par une relation vectorielle.

$I\text{ milieu de }[AB]\iff \overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$

Tu sais que deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs cordonnées sont égales, ce que tu vas écrire :

$I\text{ milieu de }[AB]\iff \begin{pmatrix} x_I-x_A\\ y_I-y_A\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_B-x_I \\ y_B-y_I\end{pmatrix}$

Tu en déduis ce qu'on appelle un système qui est simplement constitué de deux égalités : l'égalité des abscisses des vecteurs et l'égalité des ordonnées des vecteurs.

$I\text{ milieu de }[AB]\iff \left\lbrace\begin{matrix}x_I-x_A & = & x_B-x_I\\ y_I-y_A & = & y_B-y_I\end{matrix}\right.$

Tu traites chaque ligne : dans la première, tu regroupes ton inconnue $x_I$ dans le membre de gauche, tu fais de même dans la seconde ligne en regroupant $y_I$ dans le membre de gauche.

$I\text{ milieu de }[AB]\iff \left\lbrace\begin{matrix}2x_I & = & x_A+x_B\\ 2y_I & = & y_A+y_B\end{matrix}\right.$

Tu divises par $2$ chaque ligne dans ton système.

$I\text{ milieu de }[AB]\iff \left\lbrace\begin{matrix}x_I & = & \dfrac{x_A+x_B}{2}\\ y_I & = & \dfrac{y_A+y_B}{2}\end{matrix}\right.$

Tu conclus :

$I\text{ milieu de }[AB]\iff I\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$

II. Distance entre deux points, longueur d'un segment.

👉 On ne peut parler de distance ou de longueur d'un segment que si le repère choisi est orthonormé.

On a vu que :

Supposons que $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$.

Alors tu sais que : $\overrightarrow u=\begin{pmatrix}x_B-x_A\\y_B-y_A\end{pmatrix}$

Remplaçons : $\parallel \overrightarrow u\parallel=AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

La distance entre $A(x_A\,;\,y_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B)$ est égale à :

$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$

III. Exemples corrigés

Exercice n°1 : Coordonnées du milieu

On considère les points $A(2\,; 5)$ et $B(8\,; -1)$ dans un repère orthonormé.

Détermine les coordonnées du point $M$, milieu du segment $[AB]$.

Correction :

Pour trouver le milieu d’un segment $[AB]$, on utilise la formule :

$M\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A + y_B}{2}\right)$

Ici, $x_A = 2$, $x_B = 8$, $y_A = 5$, $y_B = -1$

Donc :

$x_M = \dfrac{2 + 8}{2} = \dfrac{10}{2} = 5$

$y_M = \dfrac{5 + (-1)}{2} = \dfrac{4}{2} = 2$

Réponse : $M(5\,; 2)$

Exercice n°2 : Distance entre deux points

Dans un repère orthonormé, on considère les points $C(-3\,; 4)$ et $D(5\,; -2)$.

Calcule la distance $CD$.

Correction :

On utilise la formule de la distance entre deux points :

$CD = \sqrt{(x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2}$

Ici, $x_C = -3$, $x_D = 5$, $y_C = 4$, $y_D = -2$

On calcule :

$CD = \sqrt{(5 - (-3))^2 + (-2 - 4)^2}$

$CD = \sqrt{8^2 + (-6)^2}$

$CD = \sqrt{64 + 36}$

$CD = \sqrt{100}$

$CD = 10$

Réponse : $CD = 10$