Limites, variations et dérivées de fonctions exponentielles

Exercice 1

a) $\lim\limits_{x\to -\infty}-3x=+\infty \text{ et } \lim\limits_{X\to +\infty}e^X=+\infty$ donc $\lim\limits_{x\to -\infty}e^{-3x}=+\infty$ par la propriété de la composition de limites.

De même, $\lim\limits_{x\to +\infty}-3x=-\infty \text{ et } \lim\limits_{X\to -\infty}e^X=0 \text{ donc } \lim\limits_{x\to +\infty}e^{-3x}=0$ par la propriété de la composition de limites.

b) $\lim\limits_{x\to -\infty}2x=-\infty \text{ et } \lim\limits_{X\to -\infty}e^X=0 \text{ donc } \lim\limits_{x\to -\infty}e^{2x}=0$ par la propriété de la composition de limites.
On déduit que $\lim\limits_{x\to -\infty}e^{2x}+x=-\infty$ par somme des limites.

De même, $\lim\limits_{x\to +\infty}2x=+\infty \text{ et } \lim\limits_{X\to +\infty}e^X=+\infty \text{ donc } \lim\limits_{x\to +\infty}e^{2x}=+\infty$ par la propriété de la composition de limites.
On déduit que $\lim\limits_{x\to +\infty}e^{2x}+x=+\infty$ par somme des limites.

c) $\lim\limits_{x\to -\infty}x^2+1=+\infty \text{ et } \lim\limits_{X\to +\infty}e^X=+\infty \text{ donc } \lim\limits_{x\to -\infty}e^{x^2+1}=+\infty$ par la propriété de la composition de limites.

De même, $\lim\limits_{x\to +\infty}x^2+1=+\infty \text{ et } \lim\limits_{X\to +\infty}e^X=+\infty \text{ donc } \lim\limits_{x\to +\infty}e^{x^2+1}=+\infty$ par la propriété de la composition de limites.

Exercice 2

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb R$ par $f(x)=\dfrac{e^{2x}}{e^x+1}$.

Pour tout $x\in \mathbb R$, $e^x>0 \text{ donc } e^x+1\geq1>0$, ainsi, $f$ est dérivable sur $\mathbb R$ comme quotient de deux fonctions dérivables sur $\mathbb R$ dont le dénominateur ne s'annule pas sur $\mathbb R$.

Pour tout $x\in \mathbb R$,
$f'(x)=\dfrac{2e^{2x}(e^x+1)-e^x e^{2x}}{(e^x+1)^2}=\dfrac{2e^{3x}+2e^{2x}-e^{3x}}{(e^x+1)^2}=\dfrac{e^{3x}+2e^{2x}}{(e^x+1)^2}$.

Or pour tout $x\in \mathbb R$, $e^{3x}>0 \text{ et } e^{2x}>0 \text{ donc } f'(x)>0$, donc $f$ est strictement croissante sur $\mathbb R$.

Exercice 3

a) On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=x+1+e^{-x}$.
$f$ est dérivable sur $\mathbb R$ comme somme de fonctions dérivables sur $\mathbb R$.
Pour tout $x\in \mathbb R$, $f'(x)=1-e^{-x}$.

b) On considère la fonction $g$ définie par $g(x)=e^{\sin x}$.
$g$ est dérivable sur $\mathbb R$ comme composée de fonctions dérivables sur $\mathbb R$.
Pour tout $x\in \mathbb R$, $g'(x)=\cos x \times e^{\sin x}$.

c) On considère la fonction $h$ définie par $h(x)=\dfrac{e^{2x}}{e^{2x}+1}$.
La fonction $u:x \mapsto e^{2x}$ est dérivable sur $\mathbb R$ comme composée de fonctions dérivables sur $\mathbb R$ et pour tout $x\in \mathbb R$, $e^{2x}+1>0$, donc $h$ est dérivable sur $\mathbb R$ comme quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s'annule pas sur $\mathbb R$.

Pour tout $x\in \mathbb R$,
$h'(x)=\dfrac{2e^{2x}(e^{2x}+1)-2e^{2x}e^{2x}}{(e^{2x}+1)^2}=\dfrac{2e^{4x}+2e^{2x}-2e^{4x}}{(e^{2x}+1)^2}=\dfrac{2e^{2x}}{(e^{2x}+1)^2}$.