Nombres premiers entre eux et théorème de Bezout

1re méthode :

Posons $d=\mathrm{pgcd}(a^2+b^2,a+b)$.

Alors $d\mid(a^2+b^2)$ et $d\mid(a+b)$, donc $a\equiv -b\pmod d$ puis $a^2\equiv b^2\pmod d$. Comme $d\mid(a^2+b^2)$, on a aussi $a^2+b^2\equiv 0\pmod d$. En soustrayant, on obtient $2a^2\equiv 0\pmod d$ (et de même $2b^2\equiv 0\pmod d$).

Comme $a+b$ est impair, tout diviseur $d$ de $a+b$ est impair, donc $2$ est inversible modulo $d$.

Il vient $a^2\equiv 0\pmod d$, donc $d\mid a$. Avec $a\equiv -b\pmod d$, on déduit $d\mid b$.

Ainsi $d$ divise $a$ et $b$, ce qui impose $d=1$ puisque $\mathrm{pgcd}(a,b)=1$.

Conclusion : $\mathrm{pgcd}(a^2+b^2,a+b)=1$.

2e méthode : une variante courte

Soit $d=\mathrm{pgcd}(a^2+b^2,a+b)$, on a $d\mid\big[(a^2+b^2)-(a+b)^2\big]=-2ab$.

Donc $d\mid 2ab$ et $d\mid(a+b)$.

Comme $\mathrm{pgcd}(a,a+b)=\mathrm{pgcd}(b,a+b)=1$, tout diviseur impair commun est exclu ; ainsi $d\in\{1,2\}$.

Or $a+b$ est impair, donc $2\nmid(a+b)$ et finalement $d=1$.