La fonction logarithme népérien

Exercice 1

Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $e^x = 5$.

On sait que $e^x = a \iff x = \ln(a)$ avec $a > 0$.
Ici, $a = 5 > 0$, donc :
$x = \ln(5)$.

Solution : $x = \ln(5)$.

Exercice 2

Calculer : $\ln(e^4)$.

On utilise la propriété : $\ln(e^x) = x$ pour tout réel $x$.
Ici, $x = 4$, donc :
$\ln(e^4) = 4$.

Résultat : $4$.

Exercice 3

Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $e^{2x+1} = 7$.

$7 > 0$, donc l’équation admet une unique solution.
$e^{2x+1} = 7$
$\iff 2x + 1 = \ln(7)$
$\iff 2x = \ln(7) - 1$
$\iff x = \dfrac{\ln(7) - 1}{2}$.

Solution : $x = \dfrac{\ln(7) - 1}{2}$.

Exercice 4

Donner la valeur de $\ln(1)$ et de $\ln(e)$.

Par définition, $e^0 = 1 \iff \ln(1) = 0$.
De plus, $e^1 = e \iff \ln(e) = 1$.

Résultats :
$\ln(1) = 0$ et $\ln(e) = 1$.

Exercice 5

Vérifier l’égalité $e^{\ln(12)} = 12$.

On applique la propriété : pour tout $x > 0$, $e^{\ln(x)} = x$.
Ici, $x = 12 > 0$, donc :
$e^{\ln(12)} = 12$.

Conclusion : l’égalité est bien vérifiée.