Interpréter géométriquement des transformations complexes

On associe chaque nombre complexe à un point du plan rapporté à un repère orthonormé.

On cherche à étudier les transformations : $z \mapsto z+b$ et $z \mapsto az$ où $a$ et $b$ sont des complexes.

I. Translation $f~:~z \mapsto z'=z+b$

Soit $M(z)$ et $M'(z+b)$.

Le vecteur $\overrightarrow{MM'}$ a pour affixe $Z=b-z=b$.

Le vecteur $\overrightarrow{MM'}$ est donc un vecteur fixe, le vecteur d'affixe $b$.

L'application $f$ est donc une translation.

Exemple

Si $z'=z+2+5\text i$ $z'-z=2+5\text i$,et le point $M'$ d'affixe $z'$ est l'image de $M$ d'affixe $z$ par la translation de vecteur $\vec u\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}$.

II. Multiplication par un réel : $g~:~z \mapsto z'=az$ avec $a\in\mathbb R$ : une homothétie

• Si $a>1$ : agrandissement (correspondant à une homothétie de centre $O$)

• Si $0<a<1$ : réduction (correspondant à une homothétie de centre $O$)

• Si $a<0$ : symétrie + agrandissement ou réduction suivant la valeur absolue de $a$.

III. Rotation : $z \mapsto az$ avec $a\in \mathbb C\text{ et }|a|=1$

L’objectif est de montrer que cette transformation est une rotation de centre $O$ et d’angle $\theta$.

Remarque importante : Le complexe $a$ ayant pour module $1$, on peut l'écrire $a=\text e^{\text i\theta}$ avec $\theta \in \mathbb R$.

Soit $z$ un complexe non nul, que l’on écrit sous la forme $z=re^{\text i\alpha}$.

On considère l’application $f$ définie par : $f(z)=z'=e^{\text i\theta}z$

Alors : $z'=e^{\text i\theta}\times re^{\text i\alpha}=re^{\text i(\alpha+\theta)}$

Par conséquent :

$|z'|=r=|z|$ (mêmes modules)

et

$\arg(z')=\alpha+\theta=\arg(z)+\theta \mod 2\pi$ (somme des arguments à $2\pi$ près)

La transformation conserve donc la distance à l’origine et ajoute $\theta$ à l’angle.. C’est exactement la définition d’une rotation de centre $O$ et d’angle $\theta$.

Cas du point origine :

Si $z=0$, alors : $z'=e^{\text i\theta}\times 0=0$

L’origine reste fixe.

C’est cohérent avec le fait qu’une rotation de centre $O$ laisse son centre invariant.

Exemple

On prend $\theta=\dfrac{\pi}{2}$.

On sait que : $e^{\text i\pi/2}=\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)+\text i\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\text i$

L’application devient : $z'=\text iz$

Prenons $z=2$.

Alors :

$z'=\text i\times 2=2\text i$

Le point d’affixe $2$, situé sur l’axe des abscisses, devient le point d’affixe $2\text i$, situé sur l’axe des ordonnées.

Il a bien tourné d’un quart de tour dans le sens direct.

Autres exemples :

IV. Et en physique ?

En physique, lorsqu’un point tourne autour d’un centre à vitesse angulaire constante, on peut modéliser sa position par :

$z(t)=Re^{\text i\omega t}$

où :

• $R$ est le rayon ;

• $\omega$ est la vitesse angulaire ;

• $t$ est le temps.

À chaque instant, multiplier par $e^{\text i\omega t}$ revient à faire tourner le point d’un angle $\omega t$par rapport à l'origine.

Multiplier un nombre complexe par $e^{\text i\theta}$ revient à conserver son module et à ajouter $\theta$ à son argument : c’est donc une rotation de centre $O$ et d’angle $\theta$.

Si $a=\cos(\theta)+\text i\sin(\theta)$ : on a une rotation d’angle $\theta$.

Les nombres complexes permettent donc de représenter simplement les mouvements circulaires.