Intégration par parties

$\checkmark$ Calcul de $\displaystyle A=\int_{0}^{\pi} (x \sin x) \, \text dx$

On pose $u(x) = x$ et $v'(x) = \sin x$
donc : $u'(x) = 1$ et $v(x) = - \cos x$

Tous quatre continues sur $\mathbb R$ donc sur l'intervalle d'intégration.
On a alors : $\displaystyle \int_{0}^{\pi} (x \sin x) \, \text dx = \int_{0}^{\pi} (u(x) \times v'(x)) \, \text dx$
et en faisant une intégration par parties, on obtient :

$\displaystyle A = \left[u(x).v(x)\right]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} (u'(x) v(x)) \, \text dx$

c'est-à-dire : $\displaystyle A = \left[-x \cos x\right]{0}^{\pi} - \int{0}^{\pi} (- \cos x) \, \text dx$
$\Longleftrightarrow \displaystyle A = \pi + \left[\sin x\right]_{0}^{\pi}$
D'où : $\boxed{A = \pi}$

$\checkmark$ Calcul de$\displaystyle B=\int_{1}^{e} \ln t \, \text dt$

En remarquant que $\displaystyle B=\int_{1}^{e} 1 \times \ln t , dt$, on pose :
$u(t) = \ln t$ et $v'(t) = 1$
donc : $u'(t) = \dfrac{1}{t}$ et $v(t) = t$

$u\,,v$ sont continues à dérivée continue sur $[1\,;\text e]$.
Et en intégrant par parties, on obtient :

$\displaystyle B = \left[t \ln t\right]{1}^{e} - \int{1}^{e} t \times \frac{1}{t} , dt$
$\displaystyle B = e \ln e - 1 \times \ln 1 - \int_{1}^{e} dt$
$\displaystyle B = e - \left[t\right]_{1}^{e}$
$\displaystyle B = e - (e - 1)$
D'où : $\boxed{B = 1}$

$\checkmark$ Calcul de $\displaystyle C=\int_{-1}^{0} (2u+1)e^{-u} \, \text du$

On pose :
$f(u) = 2u + 1$ et $g'(u) = e^{-u}$
donc : $f'(u) = 2$ et $g(u) = -e^{-u}$
$f$, $g'$, $f'$ et $g$ sont continues sur $\mathbb R$ donc sur l'intervalle d’intégration.

En intégrant par parties, on obtient :

$\displaystyle C = \left[-(2u + 1)e^{-u} \right]_{-1}^0 - \int_{-1}^0 \left(-2e^{-x} \right) \,\text dx$
$\displaystyle C = -1 - e - \left[2e^{-x} \right]_{-1}^0$
$\displaystyle C = -1 - e - 2 + 2e$
D'où : $\boxed{C = e - 3}$