Calcul d'intégrales

Exercice 1

$\checkmark$ $\displaystyle I_1 = \left[\sin t\right]_{0}^{\pi} = \sin \pi - \sin 0 = 0$

$\checkmark$ $\displaystyle I_2 = \left[-\cos\left(t+\frac{\pi}{4}\right)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -\cos\left(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}\right) + \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

$\checkmark$ $\displaystyle I_3 = \left[\frac{1}{4}t^4+\frac{2}{3}t^3+2t^2+t\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4} + \frac{2}{3} + 2 + 1 = \frac{47}{12}$

$\checkmark$ On remarque que la fonction $t \mapsto 12t^{17} + 2t^3 - t$ est impaire, donc $\displaystyle I_4 = 0$.

$\checkmark$ $\displaystyle I_5 = \left[t - 2e^t\right] = \ln 3 - 2e^{\ln 3} - (- \ln 2 - 2e^{-\ln 2})$
$= \ln 3 - 2 \times 3 + \ln 2 + 2 \times \frac{1}{2}$
$= \ln 3 + \ln 2 - 5$
$= -5 + \ln(3 \times 2)$
$= -5 + \ln 6$

$\checkmark$ $\displaystyle I_6 = \left[2\sqrt{1+t^2}\right]_{0}^{1} = 2\sqrt{2}-2$

Exercice 2

1. $\left(\sqrt{x^2+2}\right)' = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+2}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+2}}$

2. À l'aide de la question précédente :

$f'(x) = \dfrac{1+\dfrac{x}{\sqrt{x^2+2}}}{x+{\sqrt{x^2+2}}} = \dfrac{\dfrac{\sqrt{x^2+2}+x}{\sqrt{x^2+2}}}{x+{\sqrt{x^2+2}}} = \dfrac{1}{\sqrt{x^2+2}}$

3. On déduit des questions précédentes que :

$\displaystyle I = \int_{0}^{1} f'(x) \, \text dx = f(1) - f(0) = \ln(1 + \sqrt{3}) - \ln(\sqrt{2})$