Indicateurs de dispersion : écart interquartile et écart type

I. Quartile et étendue

Il s'agit ici de paramètres de dispersion. Ils mesurent si une série est concentrée autour d'une valeur ou si, au contraire, elles sont « éparpillées ».

Définitions

On considère une série statistique ordonnée dans l'ordre croissant.

On appelle premier quartile, noté $Q_1$, la plus petite valeur de la série pour laquelle au moins 25% des valeurs lui sont inférieures ou égales.

On appelle troisième quartile, noté $Q_3$, la plus petite valeur de la série pour laquelle au moins 75% des valeurs lui sont inférieures ou égales.

Remarque : Du fait de la définition, les deux quartiles appartiennent nécessairement à la série statistique étudiée.

Exemple : Voici les notes de 50 étudiants à un examen

Les notes étant toutes comprises entre 0 et 20 on va les regrouper dans un tableau en comptabilisant le nombre de fois ou chacune d'entre-elles apparaît.

On obtient ainsi le tableau suivant :

En prenant notre série de notes :
$\frac{50}{4}=12,5$. $Q_1$ correspondra donc à la 13ème valeur soit $Q_1=5$.
$3\times\frac{50}{4}=37,5$. $Q_3$ correspondra donc à la 38ème valeur soit $Q_3=14$.

Le dernier paramètre étudié est l'étendue.

Définition étendue :

L'étendue d'une série statistique est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur.

Ainsi dans l'exemple l'étendue vaut $20 - 0 = 20$.

Définition écart inter-quartile

L'écart inter-quartile est égal à $Q_3-Q_1$

Dans l'exemple précédent, il vaut $14-5=9$.

II. Pour aller plus loin : variance et écart-type

👉 Ce paragraphe va au delà du programme, mais permet de mieux comprendre les données qu'un code Python ou qu'un tableur sont capables de renvoyer.

On a vu l'année dernière que la moyenne d'une série statistique permet de « résumer » la série mais on n'a alors aucune information sur la dispersion des valeurs. Il a donc fallu trouver un moyen de mesurer cette dispersion. C'est le rôle que va remplir l'écart-type.
On va considérer dans les définitions et propriétés qui vont suivre la série statistique suivante :

Valeurs $x_1$ $x_1$ ... $x_1$ Total
Effectif $n_1$ $n_1$ ... $n_1$ $N$

Définition

On appelle $\bar{x}$ la moyenne de la série statistique.
On appelle variance de la série statistique le nombre :
$V=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{p}{n_i(x_i-\bar{x})}^2$

et l'écart-type le nombre $\sigma = \sqrt{V}$

Prenons un exemple numérique :

Voici les notes à un devoir de quelques élèves d'une classe :
12 - 10 - 15 - 9 - 13 - 10 - 17 - 14 - 11

La moyenne de la série est $\bar{x}=\frac{9+10+10+..+17}{9} = \frac{37}{3}$

Ainsi la variance de la série statistique est :
$\begin{aligned}V &= \frac{1}{9} \big( 1 \times (9-\tfrac{37}{3})^2 + 2 \times (10-\tfrac{37}{3})^2 + \dots \\ &\quad + 1 \times (17-\tfrac{37}{3})^2 \big) = \frac{56}{9}\end{aligned}$

Et l'écart-type est :
$\sigma = \sqrt{ \frac{56}{9} } = \frac{2\sqrt{14}}{3} \approx 2,49$

Remarque : L'intérêt majeur de l'écart-type est d'être exprimé dans la même unité que les valeurs de la série, ce qui n'est pas le cas de la variance du fait de la présence des carrés dans sa définition.

Propriété

On peut également calculer la variance d'une série statistique à l'aide de la formule suivante :
$V=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{p}{n_i x_i^2-\bar{x}^2}$

On applique cette formule à l'aide de l'exemple initial :
$V=\frac{1}{9}(1 \times 9^2 + 2 \times 10^2 + ... + 1 \times 17^2)-\left(\dfrac{37}{3}\right)^2$

$\phantom{V}=\dfrac{56}{9}$