Maximum, minimum d'une fonction

I. Définitions

Soit une fonction $f$ définie sur un intervalle $I$.

Définitions

Sur un intervalle $I$,

- une fonction $f$ admet un $\textbf{maximum } M$ en $a$,

$\hspace{0.5cm}$ si pour tout $x$, $f(x) \leq f(a) = M$.

- une fonction $f$ admet un $\textbf{minimum } m$ en $b$,

$\hspace{0.5cm}$ si pour tout $x$, $f(x) \geq f(b) = m$.

Un extremum est soit un maximum, soit un minimum.

II. Algorithme de dichotomie pour déterminer l'abscisse d'un maximum

Encadrer le maximum de la fonction $f(x) = -x^2 + 3.44x - 2$ sur l’intervalle $[0\,;\,3]$ à $10^{-2}$ près.

$1.$ On peut conjecturer à la calculatrice l'allure de la courbe.

$2.$ Algorithme en langage naturel.

Entrée : $f(x) = -x^2 + 3.44x - 2$, intervalle $[0,;,3]$, précision $\varepsilon = 10^{-2}$
Sortie : encadrement de $x_{\text{max}}$ avec précision

1. Initialiser $a = 0$, $b = 3$

2. Tant que $b - a > \varepsilon$, faire :

   • Calculer $m = \dfrac{a + b}{2}$

   • Choisir un petit $\delta = 10^{-3}$

   • Si $f(m - \delta) < f(m + \delta)$, alors le maximum est à droite : poser $a = m$

   • Sinon, le maximum est à gauche : poser $b = m$

3. Le maximum est encadré entre $a$ et $b$

4. Retourner $x = \dfrac{a + b}{2}$ comme approximation de $x_{\text{max}}$
   et $f(x)$ comme valeur maximale approchée

$3.$ Un algorithme en Python

$4.$ Réponse

L’algorithme renvoie :

• $x_{\text{max}} \approx 1.72$ (avec une précision à $10^{-2}$ près)

• $f(x_{\text{max}}) \approx f(1.72)$

  Soit $f(1.72)= -1.72^2 + 3.44 \times 1.72 - 2$

  $f(x_{max})\approx 0.9584$