Équations de la forme y'=ay

Exercice 1

1) $y'+3y=0$

Méthode 1 (linéaire homogène à coefficients constants)
Solution de la forme $y=\text e^{rx}$. L’équation caractéristique $r+3=0$ donne $r=-3$.
Donc $y=C\,\text e^{-3x}\,, C\in\mathbb R$.

Méthode 2 (séparation des variables)
$y'=-3y \ \Longrightarrow\ \dfrac{y'}{y}=-3$

Intégrons les deux membres.

Une primitive de $\dfrac{y'}{y}$ est $\ln |y|$ ; une primitive de $-3$ est $-3x$ ; on obtient :

$|y|=\text e^{C}\text e^{-3x}$, donc $y=K\,\text e^{-3x}$, $K\in\mathbb R$.

2) $y'-2y=0$

Séparation
$y'=2y \ \Longrightarrow\ \dfrac{y'}{y}=2$
$\ln|y|=2x+C \ \Longrightarrow\ y=C\,\text e^{2x}\,,C\in\mathbb R$.

Ou solution générale (application directe du cours) : $y(x)=C\,\text e^{2x}\,,C\in \mathbb R$.

3) $y'=y$

$\dfrac{y'}{y}=1 \ \Longrightarrow\ \ln|y|=x+C \ \Longrightarrow\ y=C\,\text e^{x}\,,C\in \mathbb R$.

OU solution générale (application directe du cours) : $y(x)=C\,\text e^{x}\,,C\in \mathbb R$.

4) $(y')^{2}+2yy'+y^{2}=0$

On reconnaît un carré parfait : $(y'+y)^{2}=0$.
Donc $y'+y=0$.

On retombe sur l’équation du type $y'+y=0$ (cas 1 avec $3$ remplacé par $1$) :
$\dfrac{y'}{y}=-1 \ \Longrightarrow\ \ln|y|=-x+C \ \Longrightarrow\ y=C\,\text e^{-x}\,,C\in\mathbb R$.

OU solution générale (application directe du cours) : $y(x)=C\,\text e^{-x}\,,C\in \mathbb R$.

Exercice 2

1) $y'-3y=0$ et $y(1)=3$

De l’exercice 1, $y(x)=C\,\text e^{3x}\,,\,C\in\mathbb R$.
Condition initiale : $y(1)=3 \ \Longrightarrow\ C\,\text e^{3}=3 \ \Longrightarrow\ C=3\,\text e^{-3}$.
Solution : $y(x)=3\,\text e^{-3}\,\text e^{3x}=3\,\text e^{3(x-1)}$.

2) $4y'+5y=0$ et $y(1)=\text e$

On met sous la forme standard : $y'+\dfrac{5}{4}y=0$.
Solution générale : $y(x)=C\,\text e^{-\frac{5}{4}x}\,,\,C\in\mathbb R$.

Condition initiale : $y(1)=\text e \ \Longrightarrow\ C\,\text e^{-\frac{5}{4}}=\text e \ \Longrightarrow\ C=\text e^{1+\frac{5}{4}}=\text e^{\frac{9}{4}}$.
Solution : $y(x)=\text e^{\frac{9}{4}}\,\text e^{-\frac{5}{4}x}=\text e^{\frac{9}{4}-\frac{5}{4}x}$.